Um tanque agitado de
é enchido com salmqura com uma concentração inicial de cloreto de sódio
de
. Posteriormente uma vazão de
de água pura é alimentada. Sendo igual à vazão da salmoura que sai do tanque. Na parte inferior do tanque se tem um suprimento de cristais de cloreto de sódio que são dissolvidos a uma taxa de
. Pede-se:
O tempo para que a concentração da salmoura seja de
.
O tempo para que a concentração da salmoura seja de
Passo 1
O enunciado diz que temos um tanque de volume constante V=2 m³, que inicialmente contém salmoura com 1 kg/m³ de NaCl. Entra água pura a 0,01 m³/s e sai mistura à mesma vazão. Ainda há um fornecimento de cristais que se dissolvem a 0,02 kg/s. A pergunta é: em que tempo a concentração atinge 10 kg/m³?
Conteúdo: balanço de massa em sistema de mistura, equação diferencial do 1º grau, fator integrante. Vamos precisar montar dx/dt = (input de sal) – (output de sal) e resolver a ODE.
Conteúdo: balanço de massa em sistema de mistura, equação diferencial do 1º grau, fator integrante. Vamos precisar montar dx/dt = (input de sal) – (output de sal) e resolver a ODE.
Passo 2
Definimos x(t) = massa de sal no tanque (em kg).
– Input de sal: só vem dos cristais, a 0,02 kg/s.
– Output de sal: a mistura sai com concentração x(t)/V, à vazão 0,01 m³/s, ou seja é (x/V)·0,01.
Como V=2, ficamos com taxa de saída = 0,01·(x/2)=0,005 x.
Logo o balanço é
– Input de sal: só vem dos cristais, a 0,02 kg/s.
– Output de sal: a mistura sai com concentração x(t)/V, à vazão 0,01 m³/s, ou seja é (x/V)·0,01.
Como V=2, ficamos com taxa de saída = 0,01·(x/2)=0,005 x.
Logo o balanço é
Passo 3
Essa é uma ODE linear do tipo
, com
e
.
A solução geral é
A solução geral é
Aqui
.
Passo 4
Determinar C usando a condição inicial x(0)= concentração×volume =1 kg/m³·2 m³=2 kg.
Logo
Passo 5
A concentração c(t) = x(t)/V = [4 – 2 e^{-0,005t}]/2 = 2 – e^{-0,005t} (em kg/m³).
Perguntam quando c(t)=10:
Perguntam quando c(t)=10:
o que não faz sentido, porque a exponencial nunca é negativa.
Resposta
A concentração máxima que o sistema pode atingir é 2 kg/m³ (quando
). Logo nunca chega a 10 kg/m³ – o tempo seria infinito (ou seja, não ocorre).