Um tanque agitado de V=2 m^3 é enchido com salmqura com uma concentração inicial de cloreto de sódio (t=0) de 1 kg / m^3. Posteriormente uma vazão de dotell= 0,01 m^3 / s de água pura é alimentada. Sendo igual à vazão da salmoura que sai do tanque. Na parte inferior do tanque se tem um suprimento de cristais de cloreto de sódio que são dissolvidos a uma taxa de m=0.02 kg / s. Pede-se:
O tempo para que a concentração da salmoura seja de 10 kg / m^3.

Passo 1

O enunciado diz que temos um tanque de volume constante V=2 m³, que inicialmente contém salmoura com 1 kg/m³ de NaCl. Entra água pura a 0,01 m³/s e sai mistura à mesma vazão. Ainda há um fornecimento de cristais que se dissolvem a 0,02 kg/s. A pergunta é: em que tempo a concentração atinge 10 kg/m³?
Conteúdo: balanço de massa em sistema de mistura, equação diferencial do 1º grau, fator integrante. Vamos precisar montar dx/dt = (input de sal) – (output de sal) e resolver a ODE.

Passo 2

Definimos x(t) = massa de sal no tanque (em kg).
– Input de sal: só vem dos cristais, a 0,02 kg/s.
– Output de sal: a mistura sai com concentração x(t)/V, à vazão 0,01 m³/s, ou seja é (x/V)·0,01.
Como V=2, ficamos com taxa de saída = 0,01·(x/2)=0,005 x.
Logo o balanço é
dxdt = 0,02 - 0,005,x

Passo 3

Essa é uma ODE linear do tipo x(t) = Ce^-a t + ba , com e .
A solução geral é
Aqui .

Passo 4

Determinar C usando a condição inicial x(0)= concentração×volume =1 kg/m³·2 m³=2 kg.
2 = C + 4 Rightarrow C = -2
Logo
x(t) = 4 - 2,e^-0,005,t

Passo 5

A concentração c(t) = x(t)/V = [4 – 2 e^{-0,005t}]/2 = 2 – e^{-0,005t} (em kg/m³).
Perguntam quando c(t)=10:
2 - e^-0,005t = 10 ;Longrightarrow;-e^-0,005t = 8 ;Longrightarrow;e^-0,005t = -8,
o que não faz sentido, porque a exponencial nunca é negativa.

Resposta

A concentração máxima que o sistema pode atingir é 2 kg/m³ (quando ). Logo nunca chega a 10 kg/m³ – o tempo seria infinito (ou seja, não ocorre).

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