y^prime+cotg(t) y=sen(t^2)sen(t)
l y(t)=1sen t[integral sen(t^2) d t+C] sot

Passo 1

Temos a equação diferencial:
y' + cot(t),y = sin(t^2)sin(t)
É uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que se aplica a equações na forma y' + P(t),y = Q(t) e consiste em multiplicar por um fator mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto.

Passo 2

Identificamos P(t) = cot(t) = tfraccos(t)sin(t). Então calculamos o fator integrante:
mu(t) = e^integral cot(t),dt = e^ln|sin(t)| = |sin(t)|
Em um intervalo onde sin(t) não muda de sinal, podemos tomar mu(t) = sin(t).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) = sin(t):
sin(t),y' + sin(t)cot(t),y = sin(t)sin(t^2)sin(t)
Observamos que sin(t)cot(t) = cos(t) e que no lado direito sobra sin(t^2).

Passo 4

Vemos que o lado esquerdo é a derivada de sin(t),y, pois
ddtl[sin(t),yr] = cos(t),y + sin(t),y'
Logo a equação fica:
ddtl[sin(t),yr] = sin(t^2)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
sin(t),y = integral sin(t^2),dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y(t) = 1sin(t)l[integral sin(t^2),dt + Cr]

Resposta

y(t)=1sin(t)l[integral sin(t^2),dt + Cr]

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