Determine as derivadas parciais de primeira ordem
para a função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de $ f(x, y) = \frac{x - y}{x + y} $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante. A função $ f(x, y) $ é um quociente, então usamos a regra do quociente:
Aqui, derivamos o numerador e o denominador separadamente em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão:
Então, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é $ \frac{2y}{(x + y)^2} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra do quociente, mas agora tratamos $ x $ como constante:
Aqui, derivamos o numerador e o denominador separadamente em relação a $ y $.
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão também:
Portanto, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é $ \frac{-2x}{(x + y)^2} $.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
e