Determine as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y para a função abaixo:
f(x, y)=x-yx+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de $ f(x, y) = \frac{x - y}{x + y} $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante. A função $ f(x, y) $ é um quociente, então usamos a regra do quociente:
f
Aqui, derivamos o numerador e o denominador separadamente em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão:
partial fpartial x = (x + y) - (x - y)(x + y)^2 = x + y - x + y(x + y)^2 = 2y(x + y)^2
Então, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é $ \frac{2y}{(x + y)^2} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra do quociente, mas agora tratamos $ x $ como constante:
f
Aqui, derivamos o numerador e o denominador separadamente em relação a $ y $.

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão também:
partial fpartial y = -x - y - x + y(x + y)^2 = -2x(x + y)^2
Portanto, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é $ \frac{-2x}{(x + y)^2} $.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
partial fpartial x = 2y(x + y)^2
e
partial fpartial y = -2x(x + y)^2

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