Determinar os extremos relativos da função
utilizando o teste da segunda derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar os extremos relativos da função $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ usando o teste da segunda derivada. Basicamente, isso significa que vamos descobrir onde a função atinge seus pontos mais altos ou mais baixos (talvez locais) analisando suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas. A primeira derivada de uma função nos dá a inclinação da curva em cada ponto, ou seja, diz se a função está aumentando ou diminuindo. Já a segunda derivada nos informa sobre a concavidade da curva, ajudando a determinar se um ponto crítico é máximo ou mínimo.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada de $ f(x) $:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a primeira derivada é igual a zero:
Dividindo todos os termos por -6 para simplificar:
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = 2 $:
Como o discriminante é negativo ($ \sqrt{-7} $), não existem raízes reais. Isso significa que a função não tem pontos críticos reais.
Passo 6
Sem pontos críticos reais, não há extremos relativos na função $ f(x) $ no conjunto dos números reais. A função $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ não atinge pontos de máximo ou mínimo relativos.
Resposta
A função $ f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 7 $ não possui extremos relativos reais.