Determinar f(t) se L(f) vale:
s^2+9 s-9s^2-9 s

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(t) cuja transformada de Laplace é
Lf(s)=s^2+9s-9s^2-9s
O conteúdo é transformada de Laplace e método de frações parciais.

Passo 2

Observe que
s^2-9s = s,(s-9),
logo podemos reescrever
F(s)=s^2+9s-9s(s-9)

Passo 3

Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau, fazemos divisão de polinômios:
s^2+9s-9 = (s^2-9s),+,(18s-9)
Então
F(s) =1 ;+;18s-9s(s-9)

Passo 4

Decompondo em frações parciais o termo 18s-9s(s-9), escrevemos
18s-9s(s-9)=As+Bs-9
Multiplicando por s(s-9)
18s-9 = A(s-9)+B,s = (A+B)s - 9A
Comparando coeficientes:
A+B = 18, -9A = -9, Longrightarrow A=1, B=17
Assim
F(s)=1 + 1s + 17s-9

Passo 5

Agora usamos as transformadas inversas conhecidas:
  • L^-11=de<a(t),
  • L^-1tfrac1s=1 (função degrau unitário),
  • L^-1tfrac17s-9=17,e^9t
Portanto
f(t)=de<a(t) ;+;1 ;+;17,e^9t

Resposta

f(t)=de<a(t)+1+17e^9t

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