(VALOR 0,7) Seja o plano alfa: x-8 y+3 z+8=0. Verifique se o ponto A(1,0,-3) pertence a alfa e se v=(-2,16,-6) é um vetor paralelo a alfa. Justificar a resposta.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
x - 8y + 3z + 8 = 0
e pede para (a) verificar se o ponto A(1,0,-3) pertence a alpha e (b) checar se o vetor v=(-2,16,-6) é paralelo a alpha. Vamos usar o teste de substituição para o ponto e a condição de paralelismo (ortogonalidade ao vetor normal) para o vetor.

Passo 2

Para saber se A pertence a alpha, substituímos as coordenadas de A na equação do plano:
1 - 8cdot0 + 3cdot(-3) + 8 = 1 + 0 - 9 + 8 = 0
Como o resultado é zero, A satisfaz a equação do plano e, portanto, pertence a alpha.

Passo 3

Um vetor v é paralelo ao plano alpha se e somente se for ortogonal ao vetor normal de alpha. O vetor normal de alpha é
n = (1, -8, 3)
Calculamos o produto escalar vcdot n:

Passo 4

vcdot n = (-2)cdot1 + 16cdot(-8) + (-6)cdot3 = -2 -128 -18 = -148
Como vcdot nneq0, v não é ortogonal a n e, portanto, não é paralelo a alpha.

Resposta

O ponto A(1,0,-3) pertence ao plano alpha.
O vetor v=(-2,16,-6) não é paralelo ao plano alpha.

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