Usando o teste da razão ou da raiz, verifique se as séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty (-1)^n 10^n+1n^10

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n10^n+1n^10
usando o teste da razão. O conteúdo é séries numéricas e vamos aplicar o teste da razão, que compara
L=limntoinftyl|an+1/anr|
com 1 para decidir convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (-1)^n10^n+1n^10
No teste da razão, calculamos
l|an+1/anr| = 10^,n+2/(n+1)^1010^,n+1/n^10 =10;n^10(n+1)^10 =10l(nn+1r)^10

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L=limntoinfty10l(nn+1r)^10 =10cdot1^10 =10
Como L=10>1, o teste da razão diz que a série de valores absolutos diverge.

Passo 4

Se a série dos valores absolutos diverge e além disso lvert anrvert não tende a zero (na verdade cresce), não há convergência nem condicional. Logo a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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