1. Uma nova vacina foi desenvolvida para combater uma epidemia de uma doença infecciosa. A eficácia da vacina, E(t), em porcentagem, após t dias de vacinação, é modelada pela função:
E(t)=100 cdot(1-11+e^0.1 t-5)
Essa função representa como a eficácia da vacina aumenta ao longo do tempo após a vacinação.
a. O que acontece com a eficácia da vacina quando t aumenta? Calcule E(t) para t=1,4,8 e 12 .
b. Considerando que a taxa de novos casos de infecção em função da eficácia da vacina é dada por:
C(t)=beta cdot(1-E(t)100) cdot I(t)
onde C(t) é o número de novos casos, beta é a taxa de transmissão da doença, e I(t) é o número de indivíduos infectados, discuta como a eficácia da vacina afeta a propagação da doença.
c. Quais são as implicações práticas desse modelo na implementação de campanhas de vacinação em massa?
d. Como fatores como a adesão da população à vacinação e a ocorrência de variantes da doença podem influenciar a eficácia observada na prática?

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de eficácia da vacina ao longo do tempo
E(t)=100cdotl(1-11+e^0,1t-5r),
e pede:
a. comportamento de E(t) conforme t cresce e valores numéricos em t=1,4,8,12.
b. discussão de como essa eficácia entra em
C(t)=betacdotl(1-E(t)100r)cdot I(t)
na propagação.
c. implicações práticas para campanhas de vacinação.
d. influência de adesão e variantes na eficácia observada.

Passo 2

Analisamos o comportamento de E(t) quando t cresce:
  • Para ttoinfty, 0,1t-5to+infty e e^0,1t-5toinfty, logo
11+e^0,1t-5to0 Longrightarrow E(t)to100%
  • Para t muito pequeno, 0,1t-5 é negativo grande, e^0,1t-5approx0, e
11+e^0,1t-5approx1 Longrightarrow E(t)approx0%
Portanto E(t) cresce sigmoidal de perto de 0% até 100%.

Passo 3

Cálculo de E(t) em pontos específicos:
  • Para t=1: 0,1cdot1-5=-4,9, e^-4,9approx0,00745,
E(1)=100l(1-tfrac11+0,00745r)approx0,74%
  • Para t=4: 0,1cdot4-5=-4,6, e^-4,6approx0,01005,
E(4)approx100l(1-tfrac11+0,01005r)approx0,99%
  • Para t=8: 0,1cdot8-5=-4,2, e^-4,2approx0,0149,
E(8)approx100l(1-tfrac11+0,0149r)approx1,47%
  • Para t=12: 0,1cdot12-5=-3,8, e^-3,8approx0,0224,
E(12)approx100l(1-tfrac11+0,0224r)approx2,19%

Passo 4

Na taxa de novos casos
C(t)=beta,(1-tfracE(t)100),I(t),
quanto maior E(t), menor é o fator l(1-tfracE100r), reduzindo diretamente C(t). Assim, o aumento da eficácia da vacina gera queda proporcional na transmissão.

Passo 5

Implicações práticas para campanhas de vacinação em massa:
  • É preciso considerar o tempo até alcançar alta eficácia (o “ramp-up” do modelo sigmoidal).
  • Planejar doses e reforços de forma a manter E(t) elevado na população.
  • Alvos de cobertura alta para reduzir o termo (1-tfracE100) e atingir imunidade de grupo.

Passo 6

Fatores extras na prática:
  • Adesão incompleta diminui a fração vacinada e, portanto, a eficácia média observada.
  • Surgimento de variantes com escape imune pode reduzir a curva de E(t) (menor platô ou declínio ao longo do tempo), exigindo atualização da vacina ou doses de reforço.

Resposta

a) À medida que t aumenta, E(t) cresce sigmoidal de quase 0% até 100%.
E(1)approx0,74%, E(4)approx0,99%, E(8)approx1,47%, E(12)approx2,19%.
b) Como E(t) aumenta, o fator l(1-tfracE100r) diminui, reduzindo a taxa de novos casos C(t).
c) Devem-se programar doses e reforços considerando o atraso para alta eficácia e buscar ampla cobertura para maximizar o impacto na transmissão.
d) Baixa adesão reduz a eficácia média na população; variantes com escape imune podem rebaixar o platô de E(t) e demandar ajustes ou reforços.

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