Demonstre as transformadas de Laplace para as seguintes funções:
f(t)=t^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=t^{2}-2.
Informações dadas e o que vamos precisar saber:
  • A função é f(t)=t^{2}-2 definida para t\ge 0.
  • A transformada de Laplace de uma função f é definida pela integral
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-s t}\,dt,
quando essa integral converge.
  • Vamos usar a linearidade da transformada (somar/escalares saem da integral) e calcular separadamente \mathcal{L}\{t^{2}\} e \mathcal{L}\{1\}. Não faremos suposições não justificadas sobre convergência: ao longo dos passos mostrarei as condições em s.

Passo 2

Usando linearidade da integral,
\mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)-2\mathcal{L}\{1\}(s).
Vou primeiro calcular \mathcal{L}\{1\}(s), porque é mais simples. Pela definição,
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt.
Integrando (supondo s>0 para garantir convergência),
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}.
Para s>0 tem-se \lim_{t\to\infty}e^{-s t}=0, então o termo no infinito vale 0. No t=0 o termo vale -\dfrac{1}{s}. Portanto
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad s>0.

Passo 3

Agora calculamos \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt. Vou usar integração por partes duas vezes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho primeiro u=t^{2} e dv=e^{-s t}dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Aplicando a fórmula,
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt=\left.-\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt.
Tenho de verificar o termo na fronteira \lim_{t\to\infty}t^{2}e^{-s t}. Para s>0 a exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio, logo
\lim_{t\to\infty}t^{2}e^{-s t}=0.
(Se quiser ver com mais rigor, note que t^{2}e^{-s t}=\dfrac{t^{2}}{e^{s t}} e aplicar L’Hôpital duas vezes dá 0.) No t=0 o termo é 0. Assim o termo de fronteira é zero e sobra
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt,\qquad s>0.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt novamente por partes. Tome u=t, dv=e^{-s t}dt; então du=dt, v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Aplicando,
\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt=\left.-\frac{t}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt.
De novo, \lim_{t\to\infty}t e^{-s t}=0 para s>0, e no t=0 o termo é 0. Logo
\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt.
Já calculámos \int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt=\dfrac{1}{s} quando s>0. Portanto
\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}},\qquad s>0.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3,
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}},\qquad s>0.
Portanto
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}},\qquad s>0.

Passo 6

Agora juntamos tudo usando a linearidade do Passo 2:
\mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)-2\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{2}{s^{3}}-2\cdot\frac{1}{s}.
E isto vale para s>0, que é a região onde as integrais que usamos convergem.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s)=\frac{2}{s^{3}}-\frac{2}{s},\qquad s>0

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