Vamos usar a linearidade da transformada (somar/escalares saem da integral) e calcular separadamente \mathcal{L}\{t^{2}\} e \mathcal{L}\{1\}. Não faremos suposições não justificadas sobre convergência: ao longo dos passos mostrarei as condições em s.
Para s>0 tem-se \lim_{t\to\infty}e^{-s t}=0, então o termo no infinito vale 0. No t=0 o termo vale -\dfrac{1}{s}. Portanto
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad s>0.
Passo 3
Agora calculamos \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt. Vou usar integração por partes duas vezes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho primeiro u=t^{2} e dv=e^{-s t}dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Aplicando a fórmula,
Tenho de verificar o termo na fronteira \lim_{t\to\infty}t^{2}e^{-s t}. Para s>0 a exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio, logo
\lim_{t\to\infty}t^{2}e^{-s t}=0.
(Se quiser ver com mais rigor, note que t^{2}e^{-s t}=\dfrac{t^{2}}{e^{s t}} e aplicar L’Hôpital duas vezes dá 0.) No t=0 o termo é 0. Assim o termo de fronteira é zero e sobra