6- Para determinar a força de arrasto de pressão das ondas sobre embarcações, fazem-se ensaios no laboratório, em um tanque de provas, com um modelo reduzido na escala 1:25. Pede-se: (a) justificar os adimensionais apropriados para o problema, (b) se a velocidade máxima que o protótipo desenvolverá é de 37 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, calcular a velocidade desenvolvida no modelo necessária para se obter ondas dinamicamente semelhantes às reais (semelhança completa), e (c) se a força de arrasto sobre o modelo é de 0,227 \mathrm{kgf}, calcular a força de arrasto sobre o protótipo nas mesmas condições do item b.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente o que se pede e os dados numéricos disponíveis.
  • Perguntas:
    1. (a) Justificar quais adimensionais são apropriados para estudar o arrasto de pressão das ondas sobre embarcações (isto é, quais números adimensionais controlar para fazer modelos dinamicamente semelhantes).
    2. (b) Dada a velocidade máxima do protótipo de 37\\ \mathrm{km/h}, calcular a velocidade que o modelo (escala 1\!:\!25) deve desenvolver para obter semelhança dinâmica completa com respeito às ondas.
    3. (c) Se a força de arrasto medida no modelo é 0{,}227\\ \mathrm{kgf}, calcular a força de arrasto no protótipo nas condições do item (b).
  • Dados fornecidos:
    • Escala linear: modelo/protótipo = 1:25. Vou usar o fator de escala linear \lambda definido como \lambda = \dfrac{L_{\text{prot}}}{L_{\text{mod}}} = 25.
    • Velocidade do protótipo: U_{\text{prot}} = 37\\ \mathrm{km/h}.
    • Força medida no modelo: F_{\text{mod}} = 0{,}227\\ \mathrm{kgf}.
    • Constante gravitacional (necessária para argumentos de Froude): g (valor numérico usado depois será g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 2

Conceito e justificativa dos adimensionais: quais grandezas físicas influenciam o problema e como construir números adimensionais.
  • Ideia física: o arrasto de pressão devido a ondas envolve a interação entre inércia do fluido e a gravidade que gera as ondas. Também existe viscosidade (efeito de Reynolds), mas o padrão de ondas e o arrasto por ondas são controlados essencialmente pela competição entre velocidade e gravidade. Para descrever isso com números adimensionais usa-se:
    • O número de Froude \displaystyle Fr, que compara a velocidade característica com a velocidade de ondas de gravidade numa escala característica L. A definição é
    Fr = \dfrac{U}{\sqrt{gL}},
    onde U é uma velocidade característica, g é a aceleração da gravidade e L é uma dimensão linear característica (por exemplo o comprimento de referencia do navio).
    • O número de Reynolds \displaystyle Re, que compara inércia e viscosidade:
    Re = \dfrac{U L}{\nu},
    onde \nu é a viscosidade cinemática do fluido.
    • Um coeficiente de arrasto adimensional, por exemplo
    C_D = \dfrac{F}{\tfrac{1}{2}\rho U^{2} L^{2}},
    onde F é a força de arrasto, \rho é a densidade do fluido e L^{2} é uma área de referência.
  • Justificativa de escolha principal: para fenômenos de geração de ondas e arrasto devido a ondas (arrasto de pressão), a influência dominante é da gravidade e da inércia — portanto a semelhança de Froude (igualar Fr entre protótipo e modelo) é a condição que garante que o padrão de ondas e o arrasto por elas sejam dinamicamente semelhantes. Igualar Re ao mesmo tempo é normalmente impossível em água com escala grande, porque requereriam viscosidades diferentes ou tamanhos diferentes. Assim:
    • Para estudar arrasto causado por ondas: impor Fr_{\text{mod}} = Fr_{\text{prot}} (semelhança de Froude) é o requisito essencial.
    • Deve-se ter consciência de que Re ficará diferente; isso afeta o arrasto viscoso (frouxo), mas para arrasto de pressão por ondas a condição de Froude é a que interessa.

Passo 3

Consequência prática da semelhança de Froude: como escalar as velocidades entre protótipo e modelo.
  • Se Fr_{\text{mod}} = Fr_{\text{prot}}, então
\dfrac{U_{\text{mod}}}{\sqrt{g L_{\text{mod}}}} = \dfrac{U_{\text{prot}}}{\sqrt{g L_{\text{prot}}}}.
  • Como L_{\text{prot}} = \lambda L_{\text{mod}}, isolando U_{\text{mod}} obtemos
U_{\text{mod}} = U_{\text{prot}} \sqrt{\dfrac{L_{\text{mod}}}{L_{\text{prot}}}} = U_{\text{prot}} \sqrt{\dfrac{1}{\lambda}} = \dfrac{U_{\text{prot}}}{\sqrt{\lambda}}.
Isto é intuitivo: velocidades do modelo são menores porque ondas em escalas menores têm velocidades de fase menores (escala \sqrt{L}).

Passo 4

Cálculo numérico da velocidade do modelo (item b).
  • Primeiro converter U_{\text{prot}} = 37\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. U_{\text{prot}} = 37\\ \mathrm{km/h} = 37\cdot\dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 37\cdot 0{,}277777\ldots\\ \mathrm{m/s}.Vou calcular: U_{\text{prot}} \approx 37 \times 0{,}277777\ldots = 10{,}2777\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox. }10{,}28\\ \mathrm{m/s}).
  • O fator de escala linear é \lambda = 25. Assim U_{\text{mod}} = \dfrac{U_{\text{prot}}}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{10{,}2777\\ \mathrm{m/s}}{\sqrt{25}} = \dfrac{10{,}2777}{5}\\ \mathrm{m/s}.Portanto U_{\text{mod}} \approx 2{,}0556\\ \mathrm{m/s}.
  • Convertendo para \mathrm{km/h} (opcional, para intuição): U_{\text{mod}} \approx 2{,}0556 \times 3{,}6 \approx 7{,}400\\ \mathrm{km/h}?Atenção: fiz uma leitura rápida — o correto é 2{,}0556\\ \mathrm{m/s}\times 3{,}6 \approx 7{,}4\\ \mathrm{km/h}. Ou seja, U_{\text{mod}}\approx 7{,}4\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Como escala a força de arrasto sob semelhança de Froude (derivação do fator de escala de forças).
  • Argumento dimensional: quando Fr é mantido, tem-se U\sim\sqrt{gL}. A pressão dinâmica característica associada às ondas escala como \rho U^{2}. Substituindo U^{2}\sim gL dá pressão característica \sim \rho g L.
  • Uma força é (pressão característica) \times (área característica \sim L^{2}), então a força característica escala como
F \sim (\rho g L)\,L^{2} = \rho g L^{3}.
  • Assim, para dois corpos geometricamente semelhantes no mesmo fluido (mesma \rho), as forças obedecem a
\dfrac{F_{\text{prot}}}{F_{\text{mod}}} = \left(\dfrac{L_{\text{prot}}}{L_{\text{mod}}}\right)^{3} = \lambda^{3}.
  • Observação: esta é a lei de escala sob semelhança de Froude. Alternativamente, escrever usando o coeficiente adimensional C_D com C_D igual entre protótipo e modelo quando Fr é igual, e então substituir U\sim\sqrt{gL} leva à mesma conclusão F\propto L^{3}.

Passo 6

Cálculo numérico da força no protótipo (item c).
  • Calcula-se \lambda^{3} com \lambda=25: \lambda^{3} = 25^{3} = 15625.
  • Força no protótipo em unidades de \mathrm{kgf}: F_{\text{prot}} = \lambda^{3} F_{\text{mod}} = 15625 \times 0{,}227\\ \mathrm{kgf}.Calculemos: F_{\text{prot}} = 15625 \times 0{,}227 = 3546{,}875\\ \mathrm{kgf}.
  • Conversão para Newtons (opcional, mas útil): 1\\ \mathrm{kgf} \approx 9{,}80665\\ \mathrm{N}. Assim F_{\text{prot}} \approx 3546{,}875 \times 9{,}80665\\ \mathrm{N} \approx 34765{,}95\\ \mathrm{N}.Arredondando de forma razoável: F_{\text{prot}}\approx 3{,}55\times 10^{3}\\ \mathrm{kgf} ou 3{,}48\times 10^{4}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Recapitulando e comentários práticos (motivação e cautelas para a prova).
  • Reformulando as respostas numéricas finais: a velocidade do modelo é U_{\text{mod}} = U_{\text{prot}}/\sqrt{\lambda}. Para os números dados, U_{\text{mod}}\approx 2{,}056\\ \mathrm{m/s} ( \approx 7{,}4\\ \mathrm{km/h}).
  • A força do protótipo obtida por escala de Froude: F_{\text{prot}} = \lambda^{3} F_{\text{mod}}. Para os números dados, F_{\text{prot}}\approx 3546{,}875\\ \mathrm{kgf} \approx 3{,}48\times 10^{4}\\ \mathrm{N}.
  • Observação que costuma cair em prova/pesquisa prática: ao igualar Fr procura-se reproduzir corretamente o padrão de ondas e o arrasto de pressão; entretanto Re não é igual e isso introduz diferenças no arrasto viscoso. Normalmente para arrastos dominados por ondas (pressão) a semelhança de Froude é a condição correta a impor.

Resposta

(a) Números adimensionais apropriados: \displaystyle Fr=\dfrac{U}{\sqrt{gL}} (igualar Fr entre modelo e protótipo — semelhança de Froude — é essencial para arrasto por ondas). Também aparecem \displaystyle Re=\dfrac{UL}{\nu} e o coeficiente de arrasto \displaystyle C_D=\dfrac{F}{\tfrac{1}{2}\rho U^{2}L^{2}}, mas a condição dominante para ondas é Fr igual.
(b) \displaystyle U_{\text{mod}}\approx 2{,}056\\ \mathrm{m/s} ( \approx 7{,}4\\ \mathrm{km/h}).
(c) \displaystyle F_{\text{prot}}=\lambda^{3}F_{\text{mod}}=25^{3}\times0{,}227\\ \mathrm{kgf}=3546{,}875\\ \mathrm{kgf}\approx 3{,}48\times10^{4}\\ \mathrm{N}.

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