6- Para determinar a força de arrasto de pressão das ondas sobre embarcações, fazem-se ensaios no laboratório, em um tanque de provas, com um modelo reduzido na escala 1:25. Pede-se: (a) justificar os adimensionais apropriados para o problema, (b) se a velocidade máxima que o protótipo desenvolverá é de
, calcular a velocidade desenvolvida no modelo necessária para se obter ondas dinamicamente semelhantes às reais (semelhança completa), e (c) se a força de arrasto sobre o modelo é de
, calcular a força de arrasto sobre o protótipo nas mesmas condições do item b.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente o que se pede e os dados numéricos disponíveis.
-
Perguntas:
- (a) Justificar quais adimensionais são apropriados para estudar o arrasto de pressão das ondas sobre embarcações (isto é, quais números adimensionais controlar para fazer modelos dinamicamente semelhantes).
- (b) Dada a velocidade máxima do protótipo de
, calcular a velocidade que o modelo (escala ) deve desenvolver para obter semelhança dinâmica completa com respeito às ondas. - (c) Se a força de arrasto medida no modelo é
, calcular a força de arrasto no protótipo nas condições do item (b).
-
Dados fornecidos:
- Escala linear: modelo/protótipo
. Vou usar o fator de escala linear definido como . - Velocidade do protótipo:
. - Força medida no modelo:
. - Constante gravitacional (necessária para argumentos de Froude):
(valor numérico usado depois será ).
- Escala linear: modelo/protótipo
Passo 2
Conceito e justificativa dos adimensionais: quais grandezas físicas influenciam o problema e como construir números adimensionais.
-
Ideia física: o arrasto de pressão devido a ondas envolve a interação entre inércia do fluido e a gravidade que gera as ondas. Também existe viscosidade (efeito de Reynolds), mas o padrão de ondas e o arrasto por ondas são controlados essencialmente pela competição entre velocidade e gravidade. Para descrever isso com números adimensionais usa-se:
- O número de Froude
, que compara a velocidade característica com a velocidade de ondas de gravidade numa escala característica . A definição é
ondeé uma velocidade característica, é a aceleração da gravidade e é uma dimensão linear característica (por exemplo o comprimento de referencia do navio). - O número de Reynolds
, que compara inércia e viscosidade:
ondeé a viscosidade cinemática do fluido. - Um coeficiente de arrasto adimensional, por exemplo
ondeé a força de arrasto, é a densidade do fluido e é uma área de referência. - O número de Froude
-
Justificativa de escolha principal: para fenômenos de geração de ondas e arrasto devido a ondas (arrasto de pressão), a influência dominante é da gravidade e da inércia — portanto a semelhança de Froude (igualar
entre protótipo e modelo) é a condição que garante que o padrão de ondas e o arrasto por elas sejam dinamicamente semelhantes. Igualar ao mesmo tempo é normalmente impossível em água com escala grande, porque requereriam viscosidades diferentes ou tamanhos diferentes. Assim: - Para estudar arrasto causado por ondas: impor
(semelhança de Froude) é o requisito essencial. - Deve-se ter consciência de que
ficará diferente; isso afeta o arrasto viscoso (frouxo), mas para arrasto de pressão por ondas a condição de Froude é a que interessa.
- Para estudar arrasto causado por ondas: impor
Passo 3
Consequência prática da semelhança de Froude: como escalar as velocidades entre protótipo e modelo.
- Se
, então
- Como
, isolando obtemos
Isto é intuitivo: velocidades do modelo são menores porque ondas em escalas menores têm velocidades de fase menores (escala
).
Passo 4
Cálculo numérico da velocidade do modelo (item b).
- Primeiro converter
para . Vou calcular: - O fator de escala linear é
. Assim Portanto - Convertendo para
(opcional, para intuição): Atenção: fiz uma leitura rápida — o correto é . Ou seja, .
Passo 5
Como escala a força de arrasto sob semelhança de Froude (derivação do fator de escala de forças).
- Argumento dimensional: quando
é mantido, tem-se . A pressão dinâmica característica associada às ondas escala como . Substituindo dá pressão característica . - Uma força é (pressão característica)
(área característica ), então a força característica escala como
- Assim, para dois corpos geometricamente semelhantes no mesmo fluido (mesma
), as forças obedecem a
- Observação: esta é a lei de escala sob semelhança de Froude. Alternativamente, escrever usando o coeficiente adimensional
com igual entre protótipo e modelo quando é igual, e então substituir leva à mesma conclusão .
Passo 6
Cálculo numérico da força no protótipo (item c).
- Calcula-se
com : - Força no protótipo em unidades de
: Calculemos: - Conversão para Newtons (opcional, mas útil):
. Assim Arredondando de forma razoável: ou .
Passo 7
Recapitulando e comentários práticos (motivação e cautelas para a prova).
- Reformulando as respostas numéricas finais: a velocidade do modelo é
. Para os números dados, ( ). - A força do protótipo obtida por escala de Froude:
. Para os números dados, . - Observação que costuma cair em prova/pesquisa prática: ao igualar
procura-se reproduzir corretamente o padrão de ondas e o arrasto de pressão; entretanto não é igual e isso introduz diferenças no arrasto viscoso. Normalmente para arrastos dominados por ondas (pressão) a semelhança de Froude é a condição correta a impor.
Resposta
(a) Números adimensionais apropriados:
(igualar
entre modelo e protótipo — semelhança de Froude — é essencial para arrasto por ondas). Também aparecem
e o coeficiente de arrasto
, mas a condição dominante para ondas é
igual.
(b) (
).
(c) .
(b)
(c)