R: (a) sem resposta, (b) 7,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (c) 3546,9 \mathrm{kgf}.
7- Um modelo de avião é construído na escala 1: 10. O modelo decola a uma velocidade de 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Desprezando o efeito da viscosidade e assumindo semelhança completa, pede-se: (a) justificar os adimensionais apropriados para o problema; (b) determinar a velocidade de decolagem do protótipo, e (c) determinar a escala de forças de arrasto de pressão (resistência do ar) sobre o avião.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Existe um modelo do avião na escala 1:10. Ou seja, se \ell_p é uma dimensão linear do protótipo e \ell_m a mesma dimensão do modelo, então
    \frac{\ell_m}{\ell_p}=\lambda=\frac{1}{10}=0{,}1.
    • A velocidade de decolagem do modelo é V_m=50\\ \mathrm{km/h}.
    • Devemos desprezar efeitos de viscosidade e assumir “semelhança completa”.
  • O que o enunciado pede:
    (a) justificar quais adimensionais (números adimensionais / coeficientes adimensionais) são apropriados para o problema;
    (b) determinar a velocidade de decolagem do protótipo V_p;
    (c) determinar a escala (fator de escala) das forças de arrasto de pressão sobre o avião (ou seja, como a força de arrasto do protótipo se relaciona com a do modelo).

Passo 2

Entendendo os conceitos físicos e os adimensionais que costumam aparecer em problemas de aerodinâmica e de semelhança.
  • Forças aerodinâmicas (sustentação e arrasto) normalmente escrevem-se em termos de coeficientes adimensionais. Por exemplo, a sustentação L e o arrasto D podem ser escritos como
L=\tfrac{1}{2}\rho U^{2} S C_{L},\qquad D=\tfrac{1}{2}\rho U^{2} S C_{D},
onde:
  • \rho é a densidade do ar;
  • U é a velocidade livre (aqui V);
  • S é uma área característica (por exemplo, área da asa);
  • C_{L} e C_{D} são, respectivamente, o coeficiente de sustentação e o coeficiente de arrasto (adimensionais).
  • Outros números adimensionais importantes na aerodinâmica:
    • Reynolds: \displaystyle Re=\frac{\rho U L}{\mu} (razão entre inércia e viscosidade). Depende de uma dimensão linear L (comprimento característico) e da viscosidade \mu.
    • Mach: \displaystyle Ma=\frac{U}{c} (velocidade relativa à velocidade do som) — importante para compressibilidade.
    • Froude: \displaystyle Fr=\frac{U}{\sqrt{gL}} (razão entre inércia e gravidade) — aparece quando a gravidade (peso) entra na análise do movimento/estabilidade.
    • Coeficiente de pressão (ou número de Euler): \displaystyle C_p=\frac{p-p_\infty}{\tfrac12\rho U^2} (normaliza variações de pressão pela pressão dinâmica).
  • Interpretação prática:
    • Para semelhança completa entre modelo e protótipo, em princípio é preciso igualar todos os adimensionais que influenciam o campo de fluxo e as forças: Re, Ma, Fr, além de garantir igualdade geométrica e igualdade de ângulos (mesma atitude).
    • Porém, o enunciado diz “desprezando o efeito da viscosidade”. Isso significa que os efeitos de Re (viscosidade) são desprezíveis: não precisamos igualar Re. Se a velocidade for bem menor que a velocidade do som, então Ma também é desprezível e não precisa ser igualado.
    • Para decolagem a condição relevante é que a sustentação iguale o peso. Como o peso envolve gravidade e massa (escala de volume), a gravidade/escala entra na conta e leva ao aparecimento de uma relação de escala que é a mesma que se obtém por igualdade do Froude ou por comparação direta da equação de sustentação (veremos abaixo).

Passo 3

Escolha dos adimensionais apropriados para este problema (resposta detalhada para o item (a)).
  • Adimensionais/quantidades que convém citar e justificar:
    1. C_L e C_D — coeficientes de sustentação e arrasto. Esses são os adimensionais diretamente ligados às forças aerodinâmicas. Se a geometria e o ângulo de ataque forem os mesmos, e se os efeitos viscosos e compressíveis forem desprezíveis, então C_L e C_D serão iguais entre modelo e protótipo.
    2. Re=\dfrac{\rho U L}{\mu} — Reynolds. Em geral influencia C_L e C_D. Porém, o enunciado pediu explicitamente desprezar viscosidade; com isso, os efeitos de Re são desprezíveis e não precisam ser satisfeitos para obter semelhança.
    3. Ma=\dfrac{U}{c} — Mach. Se as velocidades são muito menores que c (velocidade do som), compressibilidade é desprezível e Ma não precisa ser igual entre modelo e protótipo.
    4. Fr=\dfrac{U}{\sqrt{gL}} — Froude. Quando a gravidade entra nas condições de equilíbrio (por exemplo, sustentação equilibrando peso), ela gera um efeito de escala. Manter semelhança de decolagem (sustentação ≈ peso) entre modelo e protótipo implica uma relação entre velocidades e comprimentos que é equivalente a preservar o Froude (ou, operacionalmente, é obtida diretamente da equação do equilíbrio de forças).
    5. C_p=\dfrac{p-p_\infty}{\tfrac12\rho U^2} (ou número de Euler) — útil para discutir semelhança de campos de pressão; se C_p iguala-se, as distribuições de pressão são geometricamente semelhantes.
  • Conclusão sucinta (o que responder no (a)): os adimensionais apropriados a citar são C_L, C_D, C_p; e, dentre os números clássicos, Re, Ma e Fr. Mas, devido ao enunciado (desprezar viscosidade) e assumindo baixa velocidade (compressibilidade desprezível), os que importam para a semelhança de decolagem são essencialmente C_L (ou C_p) e a relação que liga U e L, que é a mesma que se obtém ao preservar o Froude (ou, mais direto, pela balança sustentação = peso). Em linguagem prática: garantir geometria semelhante e igualdade dos coeficientes adimensionais C_L (e C_D para arrasto) é suficiente aqui.

Passo 4

Derivando a relação de escala entre as velocidades de decolagem (iniciando o item (b)).
  • Equilíbrio de decolagem: no instante de decolagem a sustentação é da ordem do peso. Para cada corpo (modelo ou protótipo),
W=\frac{1}{2}\rho V^{2} S\, C_{L},
onde W é o peso (força gravítica), S é a área da asa correspondente e C_L o coeficiente de sustentação na condição de decolagem.
  • Vamos escrever essa equação para modelo (índice m) e protótipo (índice p):
W_m=\tfrac12\rho V_m^{2} S_m C_L,\qquad W_p=\tfrac12\rho V_p^{2} S_p C_L.
Como assumimos semelhança geométrica completa e mesmas condições de ângulo de ataque, tomamos C_L igual para ambos. A densidade do ar \rho também é a mesma.
  • Dividindo as duas equações para eliminar \tfrac12\rho C_L:
\frac{W_p}{W_m}=\frac{V_p^{2} S_p}{V_m^{2} S_m}.
  • Agora usamos as leis de escala geométrica. Se a escala linear é \lambda=\dfrac{\ell_m}{\ell_p}, então:
    • áreas escalam como S_m/S_p=\lambda^{2};
    • volumes (e portanto massas/ pesos, assumindo mesma densidade estrutural) escalam como W_m/W_p=\lambda^{3}.
  • Reescrevendo as razões em função de \lambda:
\frac{W_p}{W_m}=\frac{1}{\lambda^{3}},\qquad \frac{S_p}{S_m}=\frac{1}{\lambda^{2}}.
  • Substituindo na relação anterior:
\frac{1}{\lambda^{3}}=\frac{V_p^{2}}{V_m^{2}}\cdot\frac{1}{\lambda^{2}}.
  • Simplificando:
\frac{V_p^{2}}{V_m^{2}}=\frac{1}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_p}{V_m}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}.
  • Esta é a relação-chave: a velocidade escala como a raiz quadrada da escala linear. Essa relação é equivalente ao requisito de preservar o termo W/( \rho S ), e também equivale à preservação do Froude na forma V\propto\sqrt{L}.

Passo 5

Aplicando numericamente para obter V_p (continuação do item (b)).
  • Temos \lambda=\dfrac{\ell_m}{\ell_p}=1/10=0{,}1 e V_m=50\\ \mathrm{km/h}.
  • Logo
V_p= \frac{V_m}{\sqrt{\lambda}} = V_m\sqrt{\frac{1}{\lambda}} = V_m\sqrt{10}.
  • Calculando:
    • \sqrt{10}\approx 3{,}16227766.
    • Então V_p \approx 50\times 3{,}16227766 \approx 158{,}113883\\ \mathrm{km/h}.
  • Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
V_p \approx 158{,}11\\ \mathrm{km/h}.
  • Observação física e encorajamento: isso significa que, se o modelo (bem menor) levanta voo a 50\\ \mathrm{km/h} sob as hipóteses ditas, o avião real, bem maior, precisará de uma velocidade aproximadamente 3{,}16 vezes maior para gerar a mesma razão sustentação/peso.

Passo 6

Determinando a escala das forças de arrasto de pressão (item (c)).
  • A força de arrasto por pressão (arrasto de forma) para um corpo é, em geral,
D=\tfrac12\rho U^{2} S\, C_{D}.
Supondo que, por desprezar viscosidade, o coeficiente adimensional C_D seja o mesmo para modelo e protótipo (semelhança completa), e que a densidade do ar \rho seja a mesma, obtemos para a razão:
\frac{D_p}{D_m}=\frac{U_p^{2} S_p}{U_m^{2} S_m}.
  • Já sabemos das etapas anteriores que U_p/U_m=1/\sqrt{\lambda} e S_p/S_m=1/\lambda^{2}. Substituindo:
\frac{D_p}{D_m}=\left(\frac{1}{\lambda}\right)\cdot\left(\frac{1}{\lambda^{2}}\right)=\frac{1}{\lambda^{3}}.
  • Mas \lambda=\dfrac{1}{10}, então
\frac{D_p}{D_m}=\frac{1}{(1/10)^{3}}=10^{3}=1000.
  • Conclusão: a força de arrasto por pressão no protótipo é 1000 vezes a força de arrasto do modelo. Em termos práticos:
D_p = 1000\; D_m.
Isto decorre da combinação da dependência em U^{2} e da escala de área S, junto com a relação entre U_p e U_m obtida ao impor que a sustentação equilibre o peso.

Passo 7

Comentários finais didáticos e verificação de hipóteses.
  • Principais hipóteses usadas:
    • Geometria semelhante (escala linear \lambda=1/10).
    • Mesma atitude / mesmo coeficiente C_L na condição de decolagem.
    • Efeito da viscosidade desprezível: permitiu não igualar Re e assumir C_L e C_D iguais.
    • Compressibilidade desprezível (assumido, pois velocidades pequenas comparadas ao som).
    • Mesma densidade do ar e mesma gravidade.
  • Se alguma dessas hipóteses não for válida (por exemplo, se Re for importante e modelo e protótipo estiverem em faixas de Re muito diferentes), então C_L e C_D não seriam iguais e a análise precisaria ser ajustada (tantos ensaios em túnel quanto correções experimentais).
  • Motivação prática: normalmente, ao usar modelos em túnel de vento, tenta-se garantir condições que tornem C_L e C_D representativos do protótipo. Se não for possível igualar Re, às vezes se trabalha com hipóteses de que o arrasto de pressão (forma) domina e que os coeficientes não variam muito na faixa considerada — hipótese semelhante à que o enunciado autorizou ao dizer “desprezando viscosidade”.

Resposta

(a) Adimensionais apropriados: C_L, C_D, C_p; e, em geral, verificar Re=\dfrac{\rho U L}{\mu}, Ma=\dfrac{U}{c} e Fr=\dfrac{U}{\sqrt{gL}}. Com a hipótese do enunciado (viscosidade desprezível e baixa compressibilidade) os relevantes para semelhança de decolagem são C_L (ou C_p) e a relação de escala que equivale à preservação do Fr.
(b) V_p \approx 158{,}11\\ \mathrm{km/h}.
(c) A força de arrasto por pressão do protótipo é 1000 vezes a do modelo: D_p = 1000\,D_m.

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