R: (a) sem resposta, (b)
, (c)
.
7- Um modelo de avião é construído na escala
. O modelo decola a uma velocidade de
. Desprezando o efeito da viscosidade e assumindo semelhança completa, pede-se: (a) justificar os adimensionais apropriados para o problema; (b) determinar a velocidade de decolagem do protótipo, e (c) determinar a escala de forças de arrasto de pressão (resistência do ar) sobre o avião.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Existe um modelo do avião na escala
. Ou seja, se é uma dimensão linear do protótipo e a mesma dimensão do modelo, então
- A velocidade de decolagem do modelo é
. - Devemos desprezar efeitos de viscosidade e assumir “semelhança completa”.
- Existe um modelo do avião na escala
- O que o enunciado pede:
(a) justificar quais adimensionais (números adimensionais / coeficientes adimensionais) são apropriados para o problema;
(b) determinar a velocidade de decolagem do protótipo;
(c) determinar a escala (fator de escala) das forças de arrasto de pressão sobre o avião (ou seja, como a força de arrasto do protótipo se relaciona com a do modelo).
Passo 2
Entendendo os conceitos físicos e os adimensionais que costumam aparecer em problemas de aerodinâmica e de semelhança.
- Forças aerodinâmicas (sustentação e arrasto) normalmente escrevem-se em termos de coeficientes adimensionais. Por exemplo, a sustentação
e o arrasto podem ser escritos como
onde:
-
é a densidade do ar; -
é a velocidade livre (aqui ); -
é uma área característica (por exemplo, área da asa); -
e são, respectivamente, o coeficiente de sustentação e o coeficiente de arrasto (adimensionais). - Outros números adimensionais importantes na aerodinâmica:
- Reynolds:
(razão entre inércia e viscosidade). Depende de uma dimensão linear (comprimento característico) e da viscosidade . - Mach:
(velocidade relativa à velocidade do som) — importante para compressibilidade. - Froude:
(razão entre inércia e gravidade) — aparece quando a gravidade (peso) entra na análise do movimento/estabilidade. - Coeficiente de pressão (ou número de Euler):
(normaliza variações de pressão pela pressão dinâmica).
- Reynolds:
- Interpretação prática:
- Para semelhança completa entre modelo e protótipo, em princípio é preciso igualar todos os adimensionais que influenciam o campo de fluxo e as forças:
, , , além de garantir igualdade geométrica e igualdade de ângulos (mesma atitude). - Porém, o enunciado diz “desprezando o efeito da viscosidade”. Isso significa que os efeitos de
(viscosidade) são desprezíveis: não precisamos igualar . Se a velocidade for bem menor que a velocidade do som, então também é desprezível e não precisa ser igualado. - Para decolagem a condição relevante é que a sustentação iguale o peso. Como o peso envolve gravidade e massa (escala de volume), a gravidade/escala entra na conta e leva ao aparecimento de uma relação de escala que é a mesma que se obtém por igualdade do Froude ou por comparação direta da equação de sustentação (veremos abaixo).
- Para semelhança completa entre modelo e protótipo, em princípio é preciso igualar todos os adimensionais que influenciam o campo de fluxo e as forças:
Passo 3
Escolha dos adimensionais apropriados para este problema (resposta detalhada para o item (a)).
- Adimensionais/quantidades que convém citar e justificar:
-
e — coeficientes de sustentação e arrasto. Esses são os adimensionais diretamente ligados às forças aerodinâmicas. Se a geometria e o ângulo de ataque forem os mesmos, e se os efeitos viscosos e compressíveis forem desprezíveis, então e serão iguais entre modelo e protótipo. -
— Reynolds. Em geral influencia e . Porém, o enunciado pediu explicitamente desprezar viscosidade; com isso, os efeitos de são desprezíveis e não precisam ser satisfeitos para obter semelhança. -
— Mach. Se as velocidades são muito menores que (velocidade do som), compressibilidade é desprezível e não precisa ser igual entre modelo e protótipo. -
— Froude. Quando a gravidade entra nas condições de equilíbrio (por exemplo, sustentação equilibrando peso), ela gera um efeito de escala. Manter semelhança de decolagem (sustentação ≈ peso) entre modelo e protótipo implica uma relação entre velocidades e comprimentos que é equivalente a preservar o Froude (ou, operacionalmente, é obtida diretamente da equação do equilíbrio de forças). -
(ou número de Euler) — útil para discutir semelhança de campos de pressão; se iguala-se, as distribuições de pressão são geometricamente semelhantes.
-
- Conclusão sucinta (o que responder no (a)): os adimensionais apropriados a citar são
, , ; e, dentre os números clássicos, , e . Mas, devido ao enunciado (desprezar viscosidade) e assumindo baixa velocidade (compressibilidade desprezível), os que importam para a semelhança de decolagem são essencialmente (ou ) e a relação que liga e , que é a mesma que se obtém ao preservar o Froude (ou, mais direto, pela balança sustentação = peso). Em linguagem prática: garantir geometria semelhante e igualdade dos coeficientes adimensionais (e para arrasto) é suficiente aqui.
Passo 4
Derivando a relação de escala entre as velocidades de decolagem (iniciando o item (b)).
- Equilíbrio de decolagem: no instante de decolagem a sustentação é da ordem do peso. Para cada corpo (modelo ou protótipo),
onde
é o peso (força gravítica),
é a área da asa correspondente e
o coeficiente de sustentação na condição de decolagem.
- Vamos escrever essa equação para modelo (índice
) e protótipo (índice ):
Como assumimos semelhança geométrica completa e mesmas condições de ângulo de ataque, tomamos
igual para ambos. A densidade do ar
também é a mesma.
- Dividindo as duas equações para eliminar
:
- Agora usamos as leis de escala geométrica. Se a escala linear é
, então: - áreas escalam como
; - volumes (e portanto massas/ pesos, assumindo mesma densidade estrutural) escalam como
.
- áreas escalam como
- Reescrevendo as razões em função de
:
- Substituindo na relação anterior:
- Simplificando:
- Esta é a relação-chave: a velocidade escala como a raiz quadrada da escala linear. Essa relação é equivalente ao requisito de preservar o termo
, e também equivale à preservação do Froude na forma .
Passo 5
Aplicando numericamente para obter
(continuação do item (b)).
- Temos
e . - Logo
- Calculando:
-
. - Então
-
- Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
- Observação física e encorajamento: isso significa que, se o modelo (bem menor) levanta voo a
sob as hipóteses ditas, o avião real, bem maior, precisará de uma velocidade aproximadamente vezes maior para gerar a mesma razão sustentação/peso.
Passo 6
Determinando a escala das forças de arrasto de pressão (item (c)).
- A força de arrasto por pressão (arrasto de forma) para um corpo é, em geral,
Supondo que, por desprezar viscosidade, o coeficiente adimensional
seja o mesmo para modelo e protótipo (semelhança completa), e que a densidade do ar
seja a mesma, obtemos para a razão:
- Já sabemos das etapas anteriores que
e . Substituindo:
- Mas
, então
- Conclusão: a força de arrasto por pressão no protótipo é
vezes a força de arrasto do modelo. Em termos práticos:
Isto decorre da combinação da dependência em
e da escala de área
, junto com a relação entre
e
obtida ao impor que a sustentação equilibre o peso.
Passo 7
Comentários finais didáticos e verificação de hipóteses.
- Principais hipóteses usadas:
- Geometria semelhante (escala linear
). - Mesma atitude / mesmo coeficiente
na condição de decolagem. - Efeito da viscosidade desprezível: permitiu não igualar
e assumir e iguais. - Compressibilidade desprezível (assumido, pois velocidades pequenas comparadas ao som).
- Mesma densidade do ar e mesma gravidade.
- Geometria semelhante (escala linear
- Se alguma dessas hipóteses não for válida (por exemplo, se
for importante e modelo e protótipo estiverem em faixas de muito diferentes), então e não seriam iguais e a análise precisaria ser ajustada (tantos ensaios em túnel quanto correções experimentais). - Motivação prática: normalmente, ao usar modelos em túnel de vento, tenta-se garantir condições que tornem
e representativos do protótipo. Se não for possível igualar , às vezes se trabalha com hipóteses de que o arrasto de pressão (forma) domina e que os coeficientes não variam muito na faixa considerada — hipótese semelhante à que o enunciado autorizou ao dizer “desprezando viscosidade”.
Resposta
(a) Adimensionais apropriados:
,
,
; e, em geral, verificar
,
e
. Com a hipótese do enunciado (viscosidade desprezível e baixa compressibilidade) os relevantes para semelhança de decolagem são
(ou
) e a relação de escala que equivale à preservação do
.
(b) .
(c) A força de arrasto por pressão do protótipo é vezes a do modelo:
.
(b)
(c) A força de arrasto por pressão do protótipo é