Determinar a forma da solução particular:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
O enunciado pede que se determine a forma adequada da solução particular para a EDO
Informações dadas e o que se pede:
- A equação homogênea associada é
. - O termo forçante (lado direito) é a soma de termos da forma polinômio em
multiplicado por . - É pedido escolher, entre as opções fornecidas, a forma correta do termo particular (forma do palpite para o método dos coeficientes a determinar).
Passo 2
Resolver a equação característica da homogênea para ver possíveis ressonâncias:
Fatorando,
Portanto a raiz é
com multiplicidade
. Isso significa que as soluções fundamentais da homogênea são
e
.
Explicação didática curta sobre por que isso importa: quando o termo forçante contém um fator
com
igual a uma raiz da característica, há ressonância e o palpite padrão deve ser multiplicado por uma potência de
igual à multiplicidade da raiz. Aqui
e sua multiplicidade é
.
Passo 3
Simplificar o lado direito combinando termos semelhantes:
Logo o forçante é um polinômio de grau
multiplicado por
.
Regra do método dos coeficientes a determinar (explicada): se o forçante é
, onde
é polinômio de grau
, o palpite usual é
com
polinômio de grau
. Se
é raiz da característica de multiplicidade
, multiplica-se esse palpite por
.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso:
- Aqui
(grau do polinômio ). - A raiz
tem multiplicidade .
Portanto o palpite deve ser
onde
são constantes a determinar (coeficientes indeterminados). Isso corresponde ao palpite multiplicado por
devido à ressonância dupla.
Observação rápida sobre as outras opções: elas não incorporam corretamente a multiplicidade
da raiz
e/ou não possuem grau do polinômio compatível com o grau
do forçante, por isso estão incorretas.
Resposta
c.