Determinar a forma da solução particular: y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=e^{-4 x}+\left(x^{2}+5\right) e^{-4 x}
Escolha uma opção:
◯ a. x\left(A x^{2}+B x+C\right) e^{-4 x}
◯ b. x^{2} A e^{-4 x}
◯ c. x^{2}\left(A x^{2}+B x+C\right) e^{-4 x}
◯ d. \left(A x^{2}+B x+C\right) e^{-4 x}

Passo 1

O enunciado pede que se determine a forma adequada da solução particular para a EDO
y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=e^{-4x}+\bigl(x^{2}+5\bigr)e^{-4x}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação homogênea associada é y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0.
  • O termo forçante (lado direito) é a soma de termos da forma polinômio em x multiplicado por e^{-4x}.
  • É pedido escolher, entre as opções fornecidas, a forma correta do termo particular (forma do palpite para o método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Resolver a equação característica da homogênea para ver possíveis ressonâncias:
r^{2}+8r+16=0.
Fatorando,
r^{2}+8r+16=(r+4)^{2}.
Portanto a raiz é r=-4 com multiplicidade 2. Isso significa que as soluções fundamentais da homogênea são e^{-4x} e x e^{-4x}.
Explicação didática curta sobre por que isso importa: quando o termo forçante contém um fator e^{\alpha x} com \alpha igual a uma raiz da característica, há ressonância e o palpite padrão deve ser multiplicado por uma potência de x igual à multiplicidade da raiz. Aqui \alpha=-4 e sua multiplicidade é 2.

Passo 3

Simplificar o lado direito combinando termos semelhantes:
e^{-4x}+\bigl(x^{2}+5\bigr)e^{-4x}=\bigl(x^{2}+6\bigr)e^{-4x}.
Logo o forçante é um polinômio de grau 2 multiplicado por e^{-4x}.
Regra do método dos coeficientes a determinar (explicada): se o forçante é P_m(x)e^{\alpha x}, onde P_m é polinômio de grau m, o palpite usual é \bigl(Q_m(x)\bigr)e^{\alpha x} com Q_m polinômio de grau m. Se \alpha é raiz da característica de multiplicidade s, multiplica-se esse palpite por x^{s}.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • Aqui m=2 (grau do polinômio x^{2}+6).
  • A raiz \alpha=-4 tem multiplicidade s=2.
    Portanto o palpite deve ser
x^{2}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr)e^{-4x},
onde A,B,C são constantes a determinar (coeficientes indeterminados). Isso corresponde ao palpite multiplicado por x^{2} devido à ressonância dupla.
Observação rápida sobre as outras opções: elas não incorporam corretamente a multiplicidade 2 da raiz -4 e/ou não possuem grau do polinômio compatível com o grau 2 do forçante, por isso estão incorretas.

Resposta

c. x^{2}\left(A x^{2}+B x+C\right) e^{-4 x}

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