Exercício 32. Esboce os gráficos das funções logarítmicas:
Indique domínio, imagem, assíntotas e monotonia.
Indique domínio, imagem, assíntotas e monotonia.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu:
- esboce o gráfico (vou descrever como desenhar);
- indique o domínio;
- indique a imagem (contradomínio efetivo);
- indique assíntotas;
- indique a monotonia (se é crescente ou decrescente e onde).
Informações já visíveis no enunciado: a base do logaritmo é
, que é um número positivo menor que
.
Passo 2
Primeira coisa: o que significa
?
Por definição, é o número
tal que
Por definição,
No nosso caso
. Assim
é o número
que satisfaz
.
Dessa definição já vem uma dedução importante:
precisa ser positivo, porque potências de
são sempre positivas. Isso já aponta para o domínio (vou formalizar no próximo passo).
Passo 3
É útil escrever
em termos de logaritmo natural (mudança de base), porque aí dá pra trabalhar limites e derivadas facilmente:
Observe que
. Essa constante negativa vai inverter o sinal de muitos comportamentos que estamos acostumados com
quando
.
Passo 4
Pelo comentário da definição, a função logarítmica está definida somente para
. Logo o domínio é
Passo 5
Alguns pontos fáceis de calcular ajudam no esboço:
-
, porque qualquer base elevada a dá . Então o gráfico passa por . -
porque . Logo o gráfico passa por . -
porque . Logo passa por . - Mais em geral
. Por exemplo .
Esses pontos já mostram a tendência: para
os valores de
são positivos; para
os valores são negativos.
Passo 6
Use limites para ver todos os valores que
pode assumir.
Como
,
- quando
temos , então
- quando
temos , então
Portanto os valores cobrem toda a reta real; a imagem é
Passo 7
Pelo comportamento do passo anterior:
- Há uma assíntota vertical em
, porque quando . Então
- Não há assíntota horizontal: os limites em
para não convergem a uma constante (um tende a , outro a ). Também não há assíntota oblíqua para funções logarítmicas desse tipo. Logo
Passo 8
Para ver se a função sobe ou desce, calculemos a derivada (vou usar a expressão com
):
Como
no domínio e
, o denominador
é negativo. Portanto
Logo
é estritamente decrescente em todo o domínio.
Interpretação intuitiva: base menor que
inverte a orientação usual do logaritmo com base maior que
: conforme
cresce, o logaritmo com base
diminui.
Passo 9
- Trace os eixos
e . - Marque a assíntota vertical
como linha tracejada. - Marque o ponto
— o gráfico passa por aí. - Marque alguns pontos úteis:
, , , . Esses vêm de e . - Ligue os pontos com uma curva suave que:
- diverge para
quando se aproxima de ; - passa por
; - vai para
quando ; - é estritamente decrescente e contínua no intervalo
.
- diverge para
Se quiser verificar a simetria de uma função e seu inverso: o gráfico de
é o reflexo, em relação à reta
, do gráfico da exponencial
. Isso pode ajudar a desenhar.
Passo 10
Resumo curto: base
faz o logaritmo decrescer; domínio positivo; atravessa
; vertical em
. Você já tem os pontos para rascunhar o gráfico à mão. Vai devagar: marque os pontos-chave e a assíntota e depois ligue com uma curva suave decrescente — fica certinho!
Força aí — com esses passos dá para desenhar e justificar tudo na prova.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntotas: vertical ; sem assíntotas horizontais ou oblíquas.
Monotonia: estritamente decrescente em .
Imagem:
Assíntotas: vertical
Monotonia: estritamente decrescente em