Exercício 32. Esboce os gráficos das funções logarítmicas:
Indique domínio, imagem, assíntotas e monotonia.
h(x)=\log _{1 / 2} x

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\log_{1/2} x e pede que eu:
  • esboce o gráfico (vou descrever como desenhar);
  • indique o domínio;
  • indique a imagem (contradomínio efetivo);
  • indique assíntotas;
  • indique a monotonia (se é crescente ou decrescente e onde).
Informações já visíveis no enunciado: a base do logaritmo é 1/2, que é um número positivo menor que 1.

Passo 2

Primeira coisa: o que significa \log_a x?
Por definição, \log_a x é o número y tal que
a^{y}=x.
No nosso caso a=\tfrac{1}{2}. Assim h(x)=\log_{1/2}x é o número y que satisfaz (\tfrac{1}{2})^{y}=x.
Dessa definição já vem uma dedução importante: x precisa ser positivo, porque potências de \tfrac{1}{2} são sempre positivas. Isso já aponta para o domínio (vou formalizar no próximo passo).

Passo 3

É útil escrever h em termos de logaritmo natural (mudança de base), porque aí dá pra trabalhar limites e derivadas facilmente:
h(x)=\log_{1/2}x=\frac{\ln x}{\ln(1/2)}.
Observe que \ln(1/2)= -\ln 2<0. Essa constante negativa vai inverter o sinal de muitos comportamentos que estamos acostumados com \log_{a}x quando a>1.

Passo 4

Pelo comentário da definição, a função logarítmica está definida somente para x>0. Logo o domínio é
\text{Dom}(h)=(0,\infty).

Passo 5

Alguns pontos fáceis de calcular ajudam no esboço:
  • h(1)=\log_{1/2}1=0, porque qualquer base elevada a 0 1. Então o gráfico passa por (1,0).
  • \log_{1/2}\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=1 porque \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{1}=\tfrac{1}{2}. Logo o gráfico passa por \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr).
  • \log_{1/2}2=-1 porque \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{-1}=2. Logo passa por (2,-1).
  • Mais em geral \log_{1/2}\!\bigl((1/2)^{k}\bigr)=k. Por exemplo \log_{1/2}\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=2.
Esses pontos já mostram a tendência: para x<1 os valores de h(x) são positivos; para x>1 os valores são negativos.

Passo 6

Use limites para ver todos os valores que h pode assumir.
Como \ln(1/2)<0,
  • quando x\to 0^{+} temos \ln x \to -\infty, então
h(x)=\frac{\ln x}{\ln(1/2)} \to \frac{-\infty}{\ln(1/2)}=+\infty.
  • quando x\to +\infty temos \ln x\to +\infty, então
h(x)=\frac{\ln x}{\ln(1/2)} \to \frac{+\infty}{\ln(1/2)}=-\infty.
Portanto os valores cobrem toda a reta real; a imagem é
\text{Im}(h)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 7

Pelo comportamento do passo anterior:
  • Há uma assíntota vertical em x=0, porque h(x)\to +\infty quando x\to 0^{+}. Então
\text{assíntota vertical: } x=0.í
  • Não há assíntota horizontal: os limites em \pm\infty para h(x) não convergem a uma constante (um tende a +\infty, outro a -\infty). Também não há assíntota oblíqua para funções logarítmicas desse tipo. Logo
\text{sem assíntotas horizontais ou oblíquas.}íí

Passo 8

Para ver se a função sobe ou desce, calculemos a derivada (vou usar a expressão com \ln):
h(x)=\frac{\ln x}{\ln(1/2)} \quad\Rightarrow\quad h'(x)=\frac{1}{x\,\ln(1/2)}.
Como x>0 no domínio e \ln(1/2)=-\ln 2<0, o denominador x\,\ln(1/2) é negativo. Portanto
h'(x)<0\quad\text{para todo }x\in(0,\infty).
Logo h é estritamente decrescente em todo o domínio.
Interpretação intuitiva: base menor que 1 inverte a orientação usual do logaritmo com base maior que 1: conforme x cresce, o logaritmo com base \tfrac{1}{2} diminui.

Passo 9

  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque a assíntota vertical x=0 como linha tracejada.
  3. Marque o ponto (1,0) — o gráfico passa por aí.
  4. Marque alguns pontos úteis: \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr), \bigl(\tfrac{1}{4},2\bigr), (2,-1), (4,-2). Esses vêm de \log_{1/2}\!\bigl((1/2)^{k}\bigr)=k e \log_{1/2}\!\bigl(2^{m}\bigr)=-m.
  5. Ligue os pontos com uma curva suave que:
    • diverge para +\infty quando se aproxima de x=0^{+};
    • passa por (1,0);
    • vai para -\infty quando x\to+\infty;
    • é estritamente decrescente e contínua no intervalo (0,\infty).
Se quiser verificar a simetria de uma função e seu inverso: o gráfico de h é o reflexo, em relação à reta y=x, do gráfico da exponencial y=(\tfrac{1}{2})^{x}. Isso pode ajudar a desenhar.

Passo 10

Resumo curto: base <1 faz o logaritmo decrescer; domínio positivo; atravessa (1,0); vertical em x=0. Você já tem os pontos para rascunhar o gráfico à mão. Vai devagar: marque os pontos-chave e a assíntota e depois ligue com uma curva suave decrescente — fica certinho!
Força aí — com esses passos dá para desenhar e justificar tudo na prova.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Imagem: (-\infty,\infty)
Assíntotas: vertical x=0; sem assíntotas horizontais ou oblíquas.
Monotonia: estritamente decrescente em (0,\infty).

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