Determinar a solução geral da EDO: \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{1}{x} y=y^{3}
Escolha uma opção:
◯ a. y(x) \equiv 0
◯ b. y(x)= \pm \frac{1}{\sqrt{2 x+c_{1} x^{2}}}
◯ c. y(x)= \pm \frac{1}{\sqrt{c_{1} x^{-2}-2 x}}
◯ d. y(x)=2 x+c_{1} x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{1}{x}\,y=y^{3},
e pede a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de primeira ordem não-linear.
  • Há um termo singular em x=0 (pois aparece \tfrac{1}{x}), portanto soluções serão definidas em intervalos que não contenham x=0.
  • Devemos encontrar a família de soluções envolvendo uma constante de integração.
    Não vou resolver nada ainda aqui; apenas listei o que o problema pede e os dados disponíveis.

Passo 2

Escolhendo o método e ideia principal (de forma prática e didática).
  • Uma maneira padrão para equações do tipo \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)\,y^{n} é usar a transformação que reduz a equação a uma linear (é a técnica de Bernoulli). Vou aplicar essa transformação porque aqui temos exatamente P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=1 e n=3.
  • A substituição recomendada é definir uma nova função z(x)=y^{1-n}=y^{1-3}=y^{-2}. Vou explicar e executar passo a passo como essa substituição transforma a EDO numa linear.

Passo 3

Calcular a derivada de z em função de y e \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
  • Definição: z=y^{-2}.
  • Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(y^{-2}\bigr)=-2\,y^{-3}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
  • Agora substituo \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} usando a equação original \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^{3}-\dfrac{1}{x}y. Então
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-2\,y^{-3}\Bigl(y^{3}-\frac{1}{x}y\Bigr).
  • Simplificando termo a termo:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-2\Bigl(1-\frac{1}{x}y^{-2}\Bigr)=-2+\frac{2}{x}y^{-2}.
  • Como y^{-2}=z, obtemos a equação para z:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}-\frac{2}{x}\,z=-2.

Passo 4

Resolver a equação linear em z:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}-\frac{2}{x}\,z=-2.
  • Esta é uma equação linear do tipo \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+a(x)z=b(x) com a(x)=-\dfrac{2}{x} e b(x)=-2.
  • A técnica é usar fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\int a(x)\,\mathrm{d}x\right). Aqui
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{x}\,\mathrm{d}x\right)=\exp(-2\ln|x|)=|x|^{-2}.
  • Como trabalhamos em intervalos onde o sinal de x é fixo, podemos usar \mu(x)=x^{-2} para simplificar a escrita.

Passo 5

Multiplicar a equação por \mu(x)=x^{-2} e integrar:
  • Multiplicando:
x^{-2}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}-2x^{-3}z=-2x^{-2}.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x^{-2}z\bigr). Então
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x^{-2}z\bigr)=-2x^{-2}.
  • Integro ambos os lados em x:
x^{-2}z=\int -2x^{-2}\,\mathrm{d}x = -2\bigl(-x^{-1}\bigr)+C = 2x^{-1}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolar z e retornar para y:
  • Multiplicando por x^{2}:
z=2x+Cx^{2}.
  • Lembrando z=y^{-2}, obtemos
y^{-2}=2x+Cx^{2}.
  • Tomando reciprocamente e a raiz quadrada (lembrando o sinal \pm por causa da raiz):
y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2x+Cx^{2}}}.
  • Observações importantes e didáticas:
    • A constante C acima é a constante de integração; para coincidir com a notação da opção dada, podemos escrever C=c_{1}.
    • A solução acima descreve todas as soluções não nulas. A solução identicamente nula y(x)\equiv 0 também satisfaz a EDO (verificando diretamente na equação original), sendo uma solução particular isolada.
    • As soluções não nulas exigem que a expressão dentro da raiz seja positiva no intervalo considerado; além disso, x não pode ser zero porque o problema original tem \tfrac{1}{x}.

Passo 7

Interpretação final em relação às alternativas dadas:
  • A família de soluções não nulas é \displaystyle y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2x+c_{1}x^{2}}}.
  • A solução trivial y\equiv 0 existe, mas a família geral não-nula coincide com a alternativa (b).

Resposta

b. y(x)= \pm \dfrac{1}{\sqrt{2 x+c_{1} x^{2}}}

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