Determinar a solução geral da EDO:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
- A equação é de primeira ordem não-linear.
- Há um termo singular em
(pois aparece ), portanto soluções serão definidas em intervalos que não contenham . - Devemos encontrar a família de soluções envolvendo uma constante de integração.
Não vou resolver nada ainda aqui; apenas listei o que o problema pede e os dados disponíveis.
Passo 2
Escolhendo o método e ideia principal (de forma prática e didática).
- Uma maneira padrão para equações do tipo
é usar a transformação que reduz a equação a uma linear (é a técnica de Bernoulli). Vou aplicar essa transformação porque aqui temos exatamente , e . - A substituição recomendada é definir uma nova função
. Vou explicar e executar passo a passo como essa substituição transforma a EDO numa linear.
Passo 3
Calcular a derivada de
em função de
e
.
- Definição:
. - Derivando ambos os lados em relação a
:
- Agora substituo
usando a equação original . Então
- Simplificando termo a termo:
- Como
, obtemos a equação para :
Passo 4
Resolver a equação linear em
:
- Esta é uma equação linear do tipo
com e . - A técnica é usar fator integrante
. Aqui
- Como trabalhamos em intervalos onde o sinal de
é fixo, podemos usar para simplificar a escrita.
Passo 5
Multiplicar a equação por
e integrar:
- Multiplicando:
- O lado esquerdo é a derivada do produto
. Então
- Integro ambos os lados em
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolar
e retornar para
:
- Multiplicando por
:
- Lembrando
, obtemos
- Tomando reciprocamente e a raiz quadrada (lembrando o sinal
por causa da raiz):
- Observações importantes e didáticas:
- A constante
acima é a constante de integração; para coincidir com a notação da opção dada, podemos escrever . - A solução acima descreve todas as soluções não nulas. A solução identicamente nula
também satisfaz a EDO (verificando diretamente na equação original), sendo uma solução particular isolada. - As soluções não nulas exigem que a expressão dentro da raiz seja positiva no intervalo considerado; além disso,
não pode ser zero porque o problema original tem .
- A constante
Passo 7
Interpretação final em relação às alternativas dadas:
- A família de soluções não nulas é
. - A solução trivial
existe, mas a família geral não-nula coincide com a alternativa (b).
Resposta
b.