Considere:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede escolher, entre as opções dadas, uma função que seja solução (particular) da equação (ou que corresponda à solução procurada).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de
: . - O termo do lado direito é
. - As opções fornecem funções do tipo
, , combinações lineares; precisamos verificar qual delas satisfaz a equação.
O que será feito: primeiro resolver a equação homogênea associada para entender possíveis ressonâncias; depois buscar uma solução particular apropriada e verificar qual alternativa (se alguma) coincide.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Para equações do tipo com coeficientes
constantes (equação de Euler–Cauchy), tenta-se
. Substituindo na parte homogênea
com
temos:
Substituindo:
Simplificando o coeficiente:
A equação característica é
Resolvendo:
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Analisar o lado direito
e escolher um ansatz para a solução particular. Como
é da forma
com
e
é raiz da equação característica (ou seja,
já é solução da homogênea), haverá ressonância. Para equação de Euler, quando o membro de força é
e
é raiz simples da característica, tenta-se uma solução particular da forma
isto é, multiplicar por um polinômio em
de grau igual à multiplicidade da raiz (aqui multiplicidade 1 dá grau 1). O termo
faz parte do subespaço homogêneo, mas inclui-lo no ansatz é conveniente para cálculo; no final
ficará indeterminado na equação particular (porque corresponde à liberdade homogênea).
Passo 4
Calcular
de forma detalhada. Seja
Primeira derivada:
Segunda derivada: derivando
,
Passo 5
Substituir
na equação esquerda e simplificar cuidadosamente:
Agora agrupar termos:
- Termos em
: . - Termos com
: . - Termos constantes em
: .
Assim a expressão reduz-se a
Para que isso seja igual ao lado direito
devemos ter
O coeficiente
desapareceu da equação (é componente da homogênea), então qualquer
apenas adiciona solução homogênea. Podemos escolher
para uma particular simples.
Portanto uma solução particular é
Passo 6
Escrever a solução geral da equação (útil para checar relacionamentos com as opções):
Agora comparar com as alternativas dadas:
- A alternativa (a) é
(equivalente a ). Isso corresponderia a , o que daria no lado esquerdo — não igual a . Portanto (a) NÃO satisfaz a equação. - A alternativa (b) é
, que tem também; não satisfaz. - As alternativas (c) e (d) são múltiplos de
; se testadas não produzem no lado esquerdo para todos . Logo (c) e (d) também NÃO satisfazem.
Conclui-se que nenhuma das alternativas apresentadas coincide com a solução particular encontrada(nem difere só por um termo homogêneo, pois o coeficiente de está errado nas opções).
Resposta
Nenhuma das alternativas.