Considere: x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=x^{3}
Escolha uma opção:
◯ a. -\frac{x^{3}}{8}+\frac{x^{3}}{2} \ln x
◯ b. \quad \frac{x^{3}}{2} \ln x
◯ c. \frac{x^{5}}{3}
◯ d. \frac{x^{5}}{6}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-x y' - 3y = x^{3}
e pede escolher, entre as opções dadas, uma função que seja solução (particular) da equação (ou que corresponda à solução procurada).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de x: x^{2},-x,-3.
  • O termo do lado direito é x^{3}.
  • As opções fornecem funções do tipo x^{3}\ln x, x^{5}, combinações lineares; precisamos verificar qual delas satisfaz a equação.
    O que será feito: primeiro resolver a equação homogênea associada para entender possíveis ressonâncias; depois buscar uma solução particular apropriada e verificar qual alternativa (se alguma) coincide.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Para equações do tipo com coeficientes x^{2},x,\,constantes (equação de Euler–Cauchy), tenta-se y=x^{m}. Substituindo na parte homogênea
x^{2}y''-x y' - 3y=0,
com y=x^{m} temos:
y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo:
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2}-x\cdot m x^{m-1}-3x^{m}=\bigl(m(m-1)-m-3\bigr)x^{m}.
Simplificando o coeficiente:
m(m-1)-m-3=m^{2}-2m-3.
A equação característica é
m^{2}-2m-3=0.
Resolvendo:
m=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2}\quad\Rightarrow\quad m=3\\ \text{ou}\\ m=-1.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1}.

Passo 3

Analisar o lado direito x^{3} e escolher um ansatz para a solução particular. Como x^{3} é da forma x^{m} com m=3 e m=3 é raiz da equação característica (ou seja, x^{3} já é solução da homogênea), haverá ressonância. Para equação de Euler, quando o membro de força é x^{k} e k é raiz simples da característica, tenta-se uma solução particular da forma
y_{p}=x^{3}\bigl(A\ln x + B\bigr),
isto é, multiplicar por um polinômio em \ln x de grau igual à multiplicidade da raiz (aqui multiplicidade 1 dá grau 1). O termo B x^{3} faz parte do subespaço homogêneo, mas inclui-lo no ansatz é conveniente para cálculo; no final B ficará indeterminado na equação particular (porque corresponde à liberdade homogênea).

Passo 4

Calcular y_{p}',y_{p}'' de forma detalhada. Seja
y_{p}=x^{3}(A\ln x + B).
Primeira derivada:
y_{p}'=3x^{2}(A\ln x + B)+x^{3}\left(A\cdot\frac{1}{x}\right) = x^{2}\bigl(3A\ln x +3B + A\bigr).
Segunda derivada: derivando x^{2}(3A\ln x +3B + A),
y_{p}''=2x(3A\ln x +3B + A)+x^{2}\left(3A\cdot\frac{1}{x}\right) = x\bigl(6A\ln x +6B +5A\bigr).

Passo 5

Substituir y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação esquerda e simplificar cuidadosamente:
\begin{aligned} x^{2}y_{p}''-x y_{p}'-3y_{p} &=x^{2}\cdot x\bigl(6A\ln x +6B +5A\bigr) - x\cdot x^{2}\bigl(3A\ln x +3B + A\bigr) -3x^{3}(A\ln x + B)\\[4pt] &=x^{3}\Bigl(6A\ln x +6B +5A -3A\ln x -3B -A -3A\ln x -3B\Bigr). \end{aligned}
Agora agrupar termos:
  • Termos em \ln x: 6A\ln x -3A\ln x -3A\ln x = 0.
  • Termos com B: 6B -3B -3B = 0.
  • Termos constantes em A: 5A - A = 4A.
    Assim a expressão reduz-se a
x^{2}y_{p}''-x y_{p}'-3y_{p}=4A\,x^{3}.
Para que isso seja igual ao lado direito x^{3} devemos ter
4A\,x^{3}=x^{3}\quad\Rightarrow\quad 4A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{4}.
O coeficiente B desapareceu da equação (é componente da homogênea), então qualquer B apenas adiciona solução homogênea. Podemos escolher B=0 para uma particular simples.
Portanto uma solução particular é
y_{p}=\tfrac{1}{4}x^{3}\ln x.]

Passo 6

Escrever a solução geral da equação (útil para checar relacionamentos com as opções):
y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1}+\tfrac{1}{4}x^{3}\ln x.
Agora comparar com as alternativas dadas:
  • A alternativa (a) é -\tfrac{x^{3}}{8}+\tfrac{x^{3}}{2}\ln x (equivalente a x^{3}(\tfrac{1}{2}\ln x -\tfrac{1}{8})). Isso corresponderia a A=\tfrac{1}{2}, o que daria 4A=\!2 no lado esquerdo — não igual a 1. Portanto (a) NÃO satisfaz a equação.
  • A alternativa (b) é \tfrac{x^{3}}{2}\ln x, que tem A=\tfrac{1}{2} também; não satisfaz.
  • As alternativas (c) e (d) são múltiplos de x^{5}; se testadas não produzem x^{3} no lado esquerdo para todos x. Logo (c) e (d) também NÃO satisfazem.
    Conclui-se que nenhuma das alternativas apresentadas coincide com a solução particular encontrada y_{p}=\tfrac{1}{4}x^{3}\ln x (nem difere só por um termo homogêneo, pois o coeficiente de \ln x está errado nas opções).

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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