Usar a transformada de Laplace para resolver a seguinte equação diferencial:
3 \frac{d x}{d t}+2 x=4, \quad \text { com } x=0 \text { em } t=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
3\frac{dx}{dt}+2x=4,
com condição inicial x(0)=0, usando a transformada de Laplace. Vamos precisar da propriedade
\mathcal{L}\{x'(t)\}(s)=sX(s)-x(0),
onde X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação:
3\,\mathcal{L}\{x'(t)\}(s)+2\,\mathcal{L}\{x(t)\}(s) =\mathcal{L}\{4\}(s).
Substituindo a propriedade do derivado e x(0)=0:
3\bigl(sX(s)-0\bigr)+2X(s)=\frac{4}{s}.
Logo
(3s+2)\,X(s)=\frac{4}{s} \quad\Longrightarrow\quad X(s)=\frac{4}{s(3s+2)}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em
X(s)=\frac{4}{s(3s+2)}.
Escrevemos
\frac{4}{s(3s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{3s+2}.
Multiplicando por s(3s+2) e comparando coeficientes:
4=A(3s+2)+Bs=3As+2A+Bs.
Igualando termos em s e constantes:
3A+B=0,\quad 2A=4 \quad\Longrightarrow\quad A=2,\;B=-6.
Logo
X(s)=\frac{2}{s}-\frac{6}{3s+2} =\frac{2}{s}-\frac{2}{s+\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s}\Bigr\}(t)=2, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s+\tfrac{2}{3}}\Bigr\}(t) =2\,e^{-\tfrac{2}{3}t}.
Portanto
x(t)=2-2\,e^{-\tfrac{2}{3}t} =2\bigl(1-e^{-\tfrac{2}{3}t}\bigr).

Resposta

x(t)=2\bigl(1-e^{-\tfrac{2}{3}t}\bigr).

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