Para uma tensão de entrada degrau de amplitude V em t=0 em um circuito R C, a equação diferencial para a diferença de potencial no capacitor v_{c} é dada por:
V=R C \frac{d v_{c}}{d t}+v_{c}
\operatorname{com} v_{c} zero em t=0. Usar as transformadas de Laplace para resolver essa equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de um circuito RC submetido a um degrau de tensão de amplitude V em t=0. Precisamos resolver a ODE de primeira ordem
V = R C \,\frac{d v_{c}}{d t} + v_{c},
com a condição inicial v_{c}(0)=0, usando transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
V = R C \,\frac{d v_{c}}{d t} + v_{c}.
Como L\{V\}=V/s e L\{d v_{c}/d t\}=s\,V_{c}(s)-v_{c}(0), temos
\frac{V}{s} = R C\bigl(s\,V_{c}(s)-0\bigr) + V_{c}(s) \quad\Longrightarrow\quad \frac{V}{s} = (R C\,s + 1)\,V_{c}(s).

Passo 3

Isolando V_{c}(s), obtemos
V_{c}(s) = \frac{V/s}{R C\,s + 1} = \frac{V}{s\,(1 + R C\,s)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em
\frac{V}{s\,(1 + R C\,s)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{1 + R C\,s}.
De A=V e B=-V\,R C segue
V_{c}(s) = \frac{V}{s} - \frac{V\,R C}{1 + R C\,s}.
Invertendo a transformada:
v_{c}(t) = V - V\,e^{-t/(R C)} = V\bigl(1 - e^{-t/(R C)}\bigr).

Resposta

v_{c}(t) = V\bigl(1 - e^{-t/(R C)}\bigr).

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