Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas relevantes:
- A função é explícita em
. -
aparece como uma constante (não depende de ). - A tarefa é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos identificar a estrutura da função: é uma composição de duas funções — uma função externa que é o cosseno e uma função interna que é
. Quando temos uma composição
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
Aqui
é a função interna (dependendo de
) e
é a função externa. A interpretação é: derivamos a externa mantendo a interna, e multiplicamos pela derivada da interna.
Passo 3
Derivada da função externa. Tomemos
. A derivada de
em relação a
é
Isto é padrão: a derivada de
é
. Significa que, ao aplicar a regra da cadeia, substituiremos
por
em
.
Passo 4
Identificar e derivar a função interna. A função interna é
Repare que
é uma constante em relação a
, logo sua derivada é zero. A derivada de
em relação a
usa a regra do poder: para
temos
. Aplicando com
,
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia juntando a derivada da externa com a da interna. Usando
e
,
Passo 6
Substituir
na expressão acima e simplificar o fator constante:
Pronto — essa é a derivada procurada. Dica rápida para prova: lembre-se sempre de identificar a parte externa (
) e a interna (
) e aplicar a regra da cadeia; trate
como constante.