Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\cos \left(a^{3}+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\cos\!\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr).
Informações dadas relevantes:
  • A função é explícita em x.
  • a aparece como uma constante (não depende de x).
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos identificar a estrutura da função: é uma composição de duas funções — uma função externa que é o cosseno e uma função interna que é a^{3}+x^{3}. Quando temos uma composição f(x)=h\bigl(u(x)\bigr), usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
\text{Se } g(x)=h\bigl(u(x)\bigr)\text{ então } g'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).ã
Aqui u(x) é a função interna (dependendo de x) e h é a função externa. A interpretação é: derivamos a externa mantendo a interna, e multiplicamos pela derivada da interna.

Passo 3

Derivada da função externa. Tomemos h(u)=\cos(u). A derivada de h em relação a u é
h'(u)=-\sin(u).
Isto é padrão: a derivada de \cos é -\sin. Significa que, ao aplicar a regra da cadeia, substituiremos u por u(x) em -\sin(u).

Passo 4

Identificar e derivar a função interna. A função interna é
u(x)=a^{3}+x^{3}.
Repare que a^{3} é uma constante em relação a x, logo sua derivada é zero. A derivada de x^{3} em relação a x usa a regra do poder: para \,x^{n}\, temos \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando com n=3,
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Portanto
u'(x)=0+3x^{2}=3x^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia juntando a derivada da externa com a da interna. Usando h'(u)=-\sin(u) e u'(x)=3x^{2},
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot 3x^{2}.

Passo 6

Substituir u(x)=a^{3}+x^{3} na expressão acima e simplificar o fator constante:
f'(x)=-3x^{2}\,\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr).
Pronto — essa é a derivada procurada. Dica rápida para prova: lembre-se sempre de identificar a parte externa ( \cos) e a interna ( a^{3}+x^{3}) e aplicar a regra da cadeia; trate a como constante.

Resposta

f'(x)=-3x^{2}\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)

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