Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\frac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função derivada de f(x)=\sqrt{\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}}. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a raiz quadrada do quociente \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}.
  • Para que f seja real, o radicando deve ser não negativo e o denominador não pode ser zero, ou seja \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\ge 0 e 1-\operatorname{sen}(x)\neq 0.
    (Não vou resolver nada aqui; é só listar o que o problema dá.)

Passo 2

Reescrevemos a função de forma que fique clara a aplicação da regra da cadeia:
f(x)=\left(\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\right)^{1/2}.
Regra da cadeia (lembrando como funciona): se F(x)=h(g(x)) com h diferenciável em g(x) e g diferenciável em x, então
F'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui escolhemos h(u)=u^{1/2} e g(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}. A derivada de h(u)=u^{1/2} é
h'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{u}}.
Expliquei isso para você poder aplicar direto sem perder tempo na prova.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\left(\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\right)^{-1/2}\cdot g'(x),
onde lembramos que g(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}. Agora vamos calcular g'(x).

Passo 4

Para derivar g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} usamos a regra do quociente: se u,v são diferenciáveis e v\neq0, então
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
No nosso caso tomamos u(x)=\operatorname{sen}(x) e v(x)=1-\operatorname{sen}(x). As derivadas são u'(x)=\cos x e v'(x)=-\cos x. Substituindo:
g'(x)=\dfrac{\cos x\,(1-\operatorname{sen}(x))-\operatorname{sen}(x)\,(-\cos x)}{(1-\operatorname{sen}(x))^2}.
Agora simplificamos o numerador:
\cos x\,(1-\operatorname{sen}(x))+\operatorname{sen}(x)\cos x =\cos x\,(1-\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(x))=\cos x.
Logo
g'(x)=\dfrac{\cos x}{(1-\operatorname{sen}(x))^2}.

Passo 5

Voltando para f'(x) e substituindo g'(x):
f'(x)=\tfrac{1}{2}\left(\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\right)^{-1/2}\cdot \dfrac{\cos x}{(1-\operatorname{sen}(x))^2}.
Agora vamos simplificar essa expressão algébrica de forma a obter uma fórmula mais compacta e fácil de usar na prova.

Passo 6

Transformamos \left(\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\right)^{-1/2} em forma de raiz:
\left(\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\right)^{-1/2} =\sqrt{\dfrac{1-\operatorname{sen}(x)}{\operatorname{sen}(x)}}=\dfrac{\sqrt{1-\operatorname{sen}(x)}}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}}.
Substituindo em f'(x) obtemos
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\cos x}{(1-\operatorname{sen}(x))^2}\cdot \dfrac{\sqrt{1-\operatorname{sen}(x)}}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}}.
Agora juntamos fatores de potências de (1-\operatorname{sen}(x)): no denominador temos (1-\operatorname{sen}(x))^2 e no numerador \sqrt{1-\operatorname{sen}(x)}=(1-\operatorname{sen}(x))^{1/2}. Isso resulta em (1-\operatorname{sen}(x))^{2-1/2}=(1-\operatorname{sen}(x))^{3/2} no denominador. Portanto a expressão simplificada é
f'(x)=\dfrac{\cos x}{2\,\sqrt{\operatorname{sen}(x)}\,(1-\operatorname{sen}(x))^{3/2}}.

Passo 7

Observação sobre domínio (importante para a prova): a expressão original exige \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\ge 0 e 1-\operatorname{sen}(x)\neq0. Isso leva a que, nos pontos em que a derivada acima for válida, precisamos de 0<\operatorname{sen}(x)<1 (se \operatorname{sen}(x)=0 a derivada não é finita pela forma com \sqrt{\operatorname{sen}(x)} no denominador; se \operatorname{sen}(x)=1 a função não está definida). Portanto a forma final para f'(x) vale nos x tais que 0<\operatorname{sen}(x)<1.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\dfrac{\cos x}{2\,\sqrt{\operatorname{sen}(x)}\,(1-\operatorname{sen}(x))^{3/2}}

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