Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função derivada de
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é a raiz quadrada do quociente
. - Para que
seja real, o radicando deve ser não negativo e o denominador não pode ser zero, ou seja e .
(Não vou resolver nada aqui; é só listar o que o problema dá.)
Passo 2
Reescrevemos a função de forma que fique clara a aplicação da regra da cadeia:
Regra da cadeia (lembrando como funciona): se
com
diferenciável em
e
diferenciável em
, então
Aqui escolhemos
e
. A derivada de
é
Expliquei isso para você poder aplicar direto sem perder tempo na prova.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
onde lembramos que
. Agora vamos calcular
.
Passo 4
Para derivar
usamos a regra do quociente: se
são diferenciáveis e
, então
No nosso caso tomamos
e
. As derivadas são
e
. Substituindo:
Agora simplificamos o numerador:
Logo
Passo 5
Voltando para
e substituindo
:
Agora vamos simplificar essa expressão algébrica de forma a obter uma fórmula mais compacta e fácil de usar na prova.
Passo 6
Transformamos
em forma de raiz:
Substituindo em
obtemos
Agora juntamos fatores de potências de
: no denominador temos
e no numerador
. Isso resulta em
no denominador. Portanto a expressão simplificada é
Passo 7
Observação sobre domínio (importante para a prova): a expressão original exige
e
. Isso leva a que, nos pontos em que a derivada acima for válida, precisamos de
(se
a derivada não é finita pela forma com
no denominador; se
a função não está definida). Portanto a forma final para
vale nos
tais que
.