Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a função derivada de
.
Informação dada:
Meta clara: encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então a derivada de é
Isto significa: derive uma das partes e multiplique pela outra sem derivar, depois some com a parte simétrica.
- Regra da cadeia (caso de potência de função): se temos
com constante e diferenciável, então
Interpretação: primeiro trazemos o expoente para frente e diminuímos o expoente em 1, depois multiplicamos pela derivada do interior
.
Exemplo rápido e concreto: derivar
. Aqui
e
. Pela regra da cadeia,
Isso é útil porque
e
têm exatamente essa forma.
Passo 3
Identificamos as duas funções que multiplicam em
. Chamamos
Então
. Para aplicar a regra do produto precisamos de
e
.
Passo 4
Calcular
usando regra da cadeia:
- Aqui
e . - Pelo formato
, temos
Multiplicando os números,
Passo 5
Calcular
usando regra da cadeia:
- Aqui
. Sua derivada é
- Como
, pela cadeia
Podemos escrever também
mas a forma factorizada com
e
é mais direta para entender a origem.
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos fatorar o que é comum para simplificar e obter uma forma mais elegante (útil em prova e cálculo manual). Observe que os dois termos têm em comum:
- o fator
(no primeiro aparece com expoente , no segundo com , então o menor é ); - o fator
(no primeiro aparece com expoente , no segundo com , então o menor é ).
Fatorando esses comuns:
Passo 8
Agora simplificamos o conteúdo do colchete passo a passo.
Primeiro termo do colchete:
Segundo termo do colchete:
Calcule primeiro:
Calcule
Multiplicando por
:
Somando os dois resultados:
Passo 9
Fator comum no polinômio
: todos os coeficientes são múltiplos de
. Dividindo por
:
Portanto a expressão de
fica
Isso é uma forma totalmente fatorada e bastante compacta — ótima para apresentação em prova.