Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=(3 x-2)^{10}\left(5 x^{2}-x+1\right)^{12}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a função derivada de f.
Informação dada:
f(x)=(3x-2)^{10}\,(5x^{2}-x+1)^{12}.
Meta clara: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada de u\cdot v é
(u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'.
Isto significa: derive uma das partes e multiplique pela outra sem derivar, depois some com a parte simétrica.
  • Regra da cadeia (caso de potência de função): se temos g(x) = (h(x))^{n} com n constante e h diferenciável, então
g'(x) = n\,(h(x))^{n-1}\cdot h'(x).
Interpretação: primeiro trazemos o expoente para frente e diminuímos o expoente em 1, depois multiplicamos pela derivada do interior h'(x).
Exemplo rápido e concreto: derivar (ax+b)^n. Aqui h(x)=ax+b e h'(x)=a. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(ax+b)^n = n\,(ax+b)^{n-1}\cdot a.
Isso é útil porque (3x-2)^{10} e (5x^{2}-x+1)^{12} têm exatamente essa forma.

Passo 3

Identificamos as duas funções que multiplicam em f. Chamamos
u(x)=(3x-2)^{10},\qquad v(x)=(5x^{2}-x+1)^{12}.
Então f(x)=u(x)\,v(x). Para aplicar a regra do produto precisamos de u'(x) e v'(x).

Passo 4

Calcular u'(x) usando regra da cadeia:
  • Aqui h(x)=3x-2 e h'(x)=3.
  • Pelo formato (h(x))^{10}, temos
u'(x)=10\,(3x-2)^{9}\cdot 3.
Multiplicando os números,
u'(x)=30\,(3x-2)^{9}.

Passo 5

Calcular v'(x) usando regra da cadeia:
  • Aqui k(x)=5x^{2}-x+1. Sua derivada é
k'(x)=\frac{d}{dx}(5x^{2})-\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)=10x-1+0=10x-1.
  • Como v(x)=(k(x))^{12}, pela cadeia
v'(x)=12\,(5x^{2}-x+1)^{11}\cdot(10x-1).
Podemos escrever também
v'(x)=(120x-12)\,(5x^{2}-x+1)^{11},
mas a forma factorizada com 12 e (10x-1) é mais direta para entender a origem.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=30\,(3x-2)^{9}\,(5x^{2}-x+1)^{12} + (3x-2)^{10}\,12\,(10x-1)\,(5x^{2}-x+1)^{11}.

Passo 7

Vamos fatorar o que é comum para simplificar e obter uma forma mais elegante (útil em prova e cálculo manual). Observe que os dois termos têm em comum:
  • o fator (3x-2)^{9} (no primeiro aparece com expoente 9, no segundo com 10, então o menor é 9);
  • o fator (5x^{2}-x+1)^{11} (no primeiro aparece com expoente 12, no segundo com 11, então o menor é 11).
Fatorando esses comuns:
\begin{aligned} f'(x) &= (3x-2)^{9}\,(5x^{2}-x+1)^{11}\Big[\,30\,(5x^{2}-x+1) + 12\,(3x-2)\,(10x-1)\,\Big]. \end{aligned}

Passo 8

Agora simplificamos o conteúdo do colchete passo a passo.
Primeiro termo do colchete:
30\,(5x^{2}-x+1)=150x^{2}-30x+30.
Segundo termo do colchete:
Calcule (3x-2)(10x-1) primeiro:
(3x-2)(10x-1)=30x^{2}-3x-20x+2=30x^{2}-23x+2.
Multiplicando por 12:
12\,(30x^{2}-23x+2)=360x^{2}-276x+24.
Somando os dois resultados:
150x^{2}-30x+30 + 360x^{2}-276x+24 = (150+360)x^{2}+(-30-276)x+(30+24).
=510x^{2}-306x+54.

Passo 9

Fator comum no polinômio 510x^{2}-306x+54: todos os coeficientes são múltiplos de 6. Dividindo por 6:
510x^{2}-306x+54 = 6\,(85x^{2}-51x+9).
Portanto a expressão de f'(x) fica
f'(x)=6\,(3x-2)^{9}\,(5x^{2}-x+1)^{11}\,(85x^{2}-51x+9).
Isso é uma forma totalmente fatorada e bastante compacta — ótima para apresentação em prova.

Resposta

f'(x)=6\,(3x-2)^{9}\,(5x^{2}-x+1)^{11}\,(85x^{2}-51x+9)

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