Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a}}, a, b, c \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(x)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a}},
onde a,b,c\in\mathbb{R}.
Informações dadas:
  • a, b e c são constantes reais.
  • A função é a raiz quadrada de uma razão de polinômios quadráticos.
  • Não foi dada nenhuma restrição explícita sobre x, então devemos lembrar que a derivada só faz sentido nos pontos do domínio onde a expressão está definida: isto é, onde c x^{2}+b x+a\neq 0 e onde o quociente \dfrac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a} é estritamente positivo (para que a raiz quadrada seja real).
O que o enunciado pergunta:
  • Calcular f'(x), a derivada de f em termos de x e das constantes a,b,c.

Passo 2

Preparação: vamos usar duas regras básicas de diferenciação que vou explicar rapidinho e de forma prática.
  1. Regra da cadeia (para a raiz): se f(x)=\sqrt{u(x)} com u(x)>0, então
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Explicando: a função \sqrt{\cdot} é a mesma que (\cdot)^{1/2}. Pela regra da cadeia, derivada de u^{1/2} é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u', que reescrevemos como acima.
  1. Regra do quociente: se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} com w(x)\neq 0, então
u'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{[w(x)]^{2}}.
Explicando: é a versão sistemática de diferenciar uma fração: “deriva o numerador vezes o denominador menos numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado”.
Aplicação ao nosso caso: vamos chamar
u(x)=\frac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a}.
Então f(x)=\sqrt{u(x)} e pela regra da cadeia
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Nos próximos passos calculamos u'(x) usando a regra do quociente.

Passo 3

Definimos
v(x)=a x^{2}+b x+c,\qquad w(x)=c x^{2}+b x+a.
Suas derivadas (polinômios são fáceis):
v'(x)=2a x + b,\qquad w'(x)=2c x + b.
Agora aplicamos a regra do quociente:
u'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{[w(x)]^{2}}.
Chamemos o numerador de N(x)=v'(x)w(x)-v(x)w'(x). Vamos expandir com cuidado para não errar.
Calcule v'(x)w(x):
(2a x+b)(c x^{2}+b x+a)=2ac x^{3}+(2ab+bc)x^{2}+(2a^{2}+b^{2})x+ab.
Calcule v(x)w'(x):
(a x^{2}+b x+c)(2c x+b)=2ac x^{3}+(ab+2bc)x^{2}+(b^{2}+2c^{2})x+bc.
Subtraindo:
N(x)=(2ac x^{3}+\cdots+ab)-(2ac x^{3}+\cdots+bc).
Os termos em x^{3} cancelam. Calculando coeficiente a coeficiente obtemos
N(x)=\bigl((2ab+bc)-(ab+2bc)\bigr)x^{2}+\bigl((2a^{2}+b^{2})-(b^{2}+2c^{2})\bigr)x+(ab-bc).
Simplificando cada parte:
N(x)=\bigl(ab-bc\bigr)x^{2}+2(a^{2}-c^{2})x+(ab-bc).
Agora fatoramos a-c (uma boa ideia: a expressão é simétrica nas constantes):
a^{2}-c^{2}=(a-c)(a+c),\qquad ab-bc=b(a-c).
Assim
N(x)=(a-c)\bigl(b x^{2}+2(a+c)x+b\bigr).

Passo 4

Portanto, usamos u'(x)=\dfrac{N(x)}{[w(x)]^{2}} para obter
u'(x)=\frac{(a-c)\bigl(b x^{2}+2(a+c)x+b\bigr)}{\bigl(c x^{2}+b x+a\bigr)^{2}}.
Breve comentário didático: essa fatoração mostra que se a=c então N(x)\equiv 0 e u'(x)=0 (o quociente é constante igual a 1, como veremos), o que simplifica muito a derivada — vou comentar isso depois.

Passo 5

Agora voltamos à regra da cadeia:
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Substituindo u'(x) e lembrando que \sqrt{u(x)}=f(x), uma forma imediata é
f'(x)=\frac{(a-c)\bigl(b x^{2}+2(a+c)x+b\bigr)}{2\,f(x)\,\bigl(c x^{2}+b x+a\bigr)^{2}}.
Se quisermos eliminar f(x) e escrever tudo em termos dos polinômios sob potências racionais, usamos
f(x)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a}}=\frac{\sqrt{a x^{2}+b x+c}}{\sqrt{c x^{2}+b x+a}}.
Multiplicando o denominador por \bigl(c x^{2}+b x+a\bigr)^{2} e simplificando raízes obtemos a forma mais compacta
f'(x)=\frac{(a-c)\bigl(b x^{2}+2(a+c)x+b\bigr)}{2\,\bigl(c x^{2}+b x+a\bigr)^{3/2}\,\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)^{1/2}}.

Passo 6

Observações finais e casos especiais:
  • Se a=c, então N(x)\equiv 0, segue u'(x)=0 e portanto f'(x)=0 em todo ponto do domínio. De fato, quando a=c temos v(x)=w(x) e u(x)=1, logo f(x)=1 e a derivada é zero.
  • O resultado acima vale para todo x tal que c x^{2}+b x+a\neq 0 e \dfrac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a}>0 (para raiz real). Em pontos onde o denominador do quociente é zero a expressão original não é definida, e em pontos onde o quociente é negativo a raiz não é real — então nesses pontos não faz sentido falar da derivada real.

Resposta

f'(x)=\frac{(a-c)\bigl(b x^{2}+2(a+c)x+b\bigr)}{2\,\bigl(c x^{2}+b x+a\bigr)^{3/2}\,\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)^{1/2}}

Exercícios relacionados