Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
onde
.
Informações dadas:
-
, e são constantes reais. - A função é a raiz quadrada de uma razão de polinômios quadráticos.
- Não foi dada nenhuma restrição explícita sobre
, então devemos lembrar que a derivada só faz sentido nos pontos do domínio onde a expressão está definida: isto é, onde e onde o quociente é estritamente positivo (para que a raiz quadrada seja real).
O que o enunciado pergunta:
- Calcular
, a derivada de em termos de e das constantes .
Passo 2
Preparação: vamos usar duas regras básicas de diferenciação que vou explicar rapidinho e de forma prática.
- Regra da cadeia (para a raiz): se
com , então
Explicando: a função
é a mesma que
. Pela regra da cadeia, derivada de
é
, que reescrevemos como acima.
- Regra do quociente: se
com , então
Explicando: é a versão sistemática de diferenciar uma fração: “deriva o numerador vezes o denominador menos numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado”.
Aplicação ao nosso caso: vamos chamar
Então
e pela regra da cadeia
Nos próximos passos calculamos
usando a regra do quociente.
Passo 3
Definimos
Suas derivadas (polinômios são fáceis):
Agora aplicamos a regra do quociente:
Chamemos o numerador de
. Vamos expandir com cuidado para não errar.
Calcule
:
Calcule
:
Subtraindo:
Os termos em
cancelam. Calculando coeficiente a coeficiente obtemos
Simplificando cada parte:
Agora fatoramos
(uma boa ideia: a expressão é simétrica nas constantes):
Assim
Passo 4
Portanto, usamos
para obter
Breve comentário didático: essa fatoração mostra que se
então
e
(o quociente é constante igual a
, como veremos), o que simplifica muito a derivada — vou comentar isso depois.
Passo 5
Agora voltamos à regra da cadeia:
Substituindo
e lembrando que
, uma forma imediata é
Se quisermos eliminar
e escrever tudo em termos dos polinômios sob potências racionais, usamos
Multiplicando o denominador por
e simplificando raízes obtemos a forma mais compacta
Passo 6
Observações finais e casos especiais:
- Se
, então , segue e portanto em todo ponto do domínio. De fato, quando temos e , logo e a derivada é zero. - O resultado acima vale para todo
tal que e (para raiz real). Em pontos onde o denominador do quociente é zero a expressão original não é definida, e em pontos onde o quociente é negativo a raiz não é real — então nesses pontos não faz sentido falar da derivada real.