Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função derivada da função
Informações dadas e o que precisamos obter:
- A função é
. - Precisamos calcular
, isto é, a derivada de em função de . - Não há outras perguntas: só calcular a derivada.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função em potências para facilitar o uso das regras de derivação. Lembre que
. Aplicando aqui, temos:
Explicando cada símbolo: a expressão
é a função interna (vou chamá‑la de
) e
é o expoente aplicado a essa função.
Passo 3
Agora vamos recordar a regra que vamos usar (explicando com calma): se temos uma função composta do tipo
, com
constante e
função diferenciável, a derivada é dada pela regra da cadeia combinada com a regra da potência:
O que isso significa em palavras: derivamos trazendo o expoente
para frente, diminuímos o expoente em uma unidade (
) e multiplicamos pela derivada da função interna
. Essa é a aplicação direta da regra da potência junto com a regra da cadeia.
Passo 4
Identificamos a função interna
e calculamos sua derivada:
Derivando termo a termo (lembrando que a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
):
Aqui
significa a taxa de variação da função interna com respeito a
.
Passo 5
Aplicamos a fórmula da regra da cadeia com
e
. Assim:
Calcule o expoente
:
Portanto:
Passo 6
Podemos escrever a mesma expressão usando a notação de raiz cúbica, que é equivalente:
Ambas as formas estão corretas; a primeira destaca o expoente fracionário
e a segunda usa a raiz cúbica explícita.
Passo 7
Pequeno exemplo extra (para fixar a ideia): se tivéssemos
, então por mesma regra
Repare que o passo foi idêntico: trazemos o expoente, diminuímos em uma unidade e multiplicamos pela derivada da parte interna.
Passo 8
Resumo final: usamos a reescrita em potência fracionária, a regra da potência e a regra da cadeia, e a derivada da função interna polinomial para chegar ao resultado. Segue a resposta final.