Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[3]{\left(1+x+x^{2}\right)^{4}}\

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{\left(1+x+x^{2}\right)^{4}}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • A função é f(x)=\sqrt[3]{\left(1+x+x^{2}\right)^{4}}.
  • Precisamos calcular f'(x), isto é, a derivada de f em função de x.
  • Não há outras perguntas: só calcular a derivada.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função em potências para facilitar o uso das regras de derivação. Lembre que (a^b)^c = a^{bc}. Aplicando aqui, temos:
f(x)=\left(\left(1+x+x^{2}\right)^{4}\right)^{1/3}=\left(1+x+x^{2}\right)^{4\cdot\frac{1}{3}}=\left(1+x+x^{2}\right)^{\frac{4}{3}}.
Explicando cada símbolo: a expressão \left(1+x+x^{2}\right) é a função interna (vou chamá‑la de u(x)) e \frac{4}{3} é o expoente aplicado a essa função.

Passo 3

Agora vamos recordar a regra que vamos usar (explicando com calma): se temos uma função composta do tipo \left(u(x)\right)^{n}, com n constante e u(x) função diferenciável, a derivada é dada pela regra da cadeia combinada com a regra da potência:
\frac{d}{dx}\left(u(x)^{n}\right)=n\;u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
O que isso significa em palavras: derivamos trazendo o expoente n para frente, diminuímos o expoente em uma unidade ( n-1 ) e multiplicamos pela derivada da função interna u(x). Essa é a aplicação direta da regra da potência junto com a regra da cadeia.

Passo 4

Identificamos a função interna u(x) e calculamos sua derivada:
u(x)=1+x+x^{2}.
Derivando termo a termo (lembrando que a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e a derivada de uma constante é 0):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=0+1+2x=2x+1.
Aqui u'(x) significa a taxa de variação da função interna com respeito a x.

Passo 5

Aplicamos a fórmula da regra da cadeia com n=\frac{4}{3} e u(x)=1+x+x^{2}. Assim:
f'(x)=\frac{4}{3}\;\bigl(1+x+x^{2}\bigr)^{\frac{4}{3}-1}\cdot(2x+1).
Calcule o expoente \frac{4}{3}-1:
\frac{4}{3}-1=\frac{4}{3}-\frac{3}{3}=\frac{1}{3}.
Portanto:
f'(x)=\frac{4}{3}\;(2x+1)\;\bigl(1+x+x^{2}\bigr)^{\frac{1}{3}}.

Passo 6

Podemos escrever a mesma expressão usando a notação de raiz cúbica, que é equivalente:
f'(x)=\frac{4}{3}\,(2x+1)\,\sqrt[3]{\,1+x+x^{2}\,}.
Ambas as formas estão corretas; a primeira destaca o expoente fracionário \frac{1}{3} e a segunda usa a raiz cúbica explícita.

Passo 7

Pequeno exemplo extra (para fixar a ideia): se tivéssemos g(x)=\sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{1/2}, então por mesma regra
g'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Repare que o passo foi idêntico: trazemos o expoente, diminuímos em uma unidade e multiplicamos pela derivada da parte interna.

Passo 8

Resumo final: usamos a reescrita em potência fracionária, a regra da potência e a regra da cadeia, e a derivada da função interna polinomial para chegar ao resultado. Segue a resposta final.

Resposta

f'(x)=\frac{4}{3}(2x+1)\left(1+x+x^{2}\right)^{\frac{1}{3}}

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