Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[3]{\left(\frac{a x+b}{a x-b}\right)^{2}}, a, b \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{\left(\frac{a x+b}{a x-b}\right)^{2}},\qquad a,b\in\mathbb{R}.
Informações dadas e o que o problema solicita:
  • A função está expressa em termos de a e b reais.
  • Devemos calcular f'(x) (a derivada em relação a x).
  • Note que a expressão está indefinida quando a x-b=0 (ou seja, em x=\dfrac{b}{a} se a\neq0); isso é relevante para o domínio e para onde a derivada pode ser aplicada.
  • Não foram dadas restrições adicionais sobre a e b, então temos que tratar também casos especiais como a=0 ou b=0.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função de forma mais simples para diferenciar. Observa que a raiz cúbica do quadrado é um expoente racional:
\sqrt[3]{\left(\frac{a x+b}{a x-b}\right)^{2}}=\left(\frac{a x+b}{a x-b}\right)^{2/3}.
Para ficar claro, seja
u(x)=\frac{a x+b}{a x-b},
assim
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2/3}.
Comentário didático rápido: escrever a função como uma potência u^{2/3} facilita o uso da regra da cadeia e da regra de potência. A raiz cúbica de um número real está sempre bem definida, e a expressão acima coincide com |u|^{2/3}, mas trabalhar com u^{2/3} e com a derivação usando a cadeia dá a forma correta do resultado para u\neq0.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Se f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2/3}, então, pela regra da potência composta com a cadeia,
f'(x)=\frac{2}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-1/3}\cdot u'(x).
Explicando a regra usada: a regra da potência diz que a derivada de v^{p} em relação a v é p v^{p-1}. A regra da cadeia diz que para v=u(x) temos de multiplicar por u'(x). Aqui p=\tfrac{2}{3}, então p-1=-\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Agora precisamos de u'(x), com u(x)=\dfrac{a x+b}{a x-b}. Usamos a regra do quociente: se u=\dfrac{p}{q} então u'=\dfrac{p' q-p q'}{q^{2}}. Tome p(x)=a x+b e q(x)=a x-b. Então p'(x)=a e q'(x)=a. Portanto
u'(x)=\frac{a\,(a x-b)-(a x+b)\,a}{(a x-b)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador:
a(a x-b)-a(a x+b)=a^{2}x-ab - \bigl(a^{2}x+ab\bigr) = -2ab.
Logo
u'(x)=\frac{-2ab}{(a x-b)^{2}}.
Pequena verificação mental: se b=0 então o numerador é zero e u é constante (igual a 1 para x onde definido), então faz sentido u'=0.

Passo 5

Substituímos u'(x) em f'(x):
f'(x)=\frac{2}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-1/3}\cdot\frac{-2ab}{(a x-b)^{2}}.
Multiplicando os coeficientes obtemos
f'(x)=-\frac{4ab}{3}\,\bigl(u(x)\bigr)^{-1/3}\cdot\frac{1}{(a x-b)^{2}}.

Passo 6

Agora escrevemos \bigl(u(x)\bigr)^{-1/3} em termos de a x\pm b. Como u(x)=\dfrac{a x+b}{a x-b}, tem-se
\bigl(u(x)\bigr)^{-1/3}=\left(\frac{a x+b}{a x-b}\right)^{-1/3}=\frac{(a x-b)^{1/3}}{(a x+b)^{1/3}}.
Substituindo em f'(x):
f'(x)=-\frac{4ab}{3}\cdot\frac{(a x-b)^{1/3}}{(a x+b)^{1/3}}\cdot\frac{1}{(a x-b)^{2}}.
Agora juntamos as potências de (a x-b):
\frac{(a x-b)^{1/3}}{(a x-b)^{2}}=(a x-b)^{1/3-2}=(a x-b)^{-5/3}.
Portanto obtemos a forma simplificada
f'(x)=-\frac{4ab}{3}\,\frac{1}{(a x+b)^{1/3}(a x-b)^{5/3}}.

Passo 7

Condições de validade e casos especiais (importante para a prova):
  • A fórmula acima vale quando os denominadores que apareceram são não nulos, isto é, quando a x-b\neq0 (porque a função original já exige isso) e também quando a x+b\neq0 (para evitar divisão por zero na expressão final da derivada). Em termos de x, isso significa x\neq \dfrac{b}{a} e x\neq -\dfrac{b}{a} (quando a\neq0).
  • Se a\neq0 e x=-\dfrac{b}{a} então f(x)=0 (a função está definida aí) mas a derivada não existe porque há singularidade do tipo potência com exponente menor que 1 (cusp), conforme visto pela divergência de u^{-1/3} quando u=0.
  • Se a=0 então u(x)=\dfrac{b}{-b}=-1 (se b\neq0) e a função é constante igual a 1: de fato \sqrt[3]{((-1)^2)}=1. Assim para a=0 e b\neq0 temos f'(x)=0 (para todos os x em que a expressão faz sentido; note que se a=0 a condição a x-b=0 vira -b=0, então se b\neq0 não há pontos excluídos por a x-b=0). Se a=0 e b=0 a função é indefinida ( 0/0), então não há derivada.
  • Caso particular b=0 e a\neq0: a expressão geral fornece f'(x)=0 para x\neq0 (mas x=0 está fora do domínio porque a x-b=0 aí).

Resposta

Para a\neq0 e x\neq \dfrac{b}{a},\;x\neq -\dfrac{b}{a}:
f'(x)=-\frac{4ab}{3}\,\frac{1}{(a x+b)^{1/3}(a x-b)^{5/3}}.
Para a=0,\;b\neq0:
f'(x)=0.
Para a=0,\;b=0: a função é indefinida (não existe derivada).

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