Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e o que o problema solicita:
- A função está expressa em termos de
e reais. - Devemos calcular
(a derivada em relação a ). - Note que a expressão está indefinida quando
(ou seja, em se ); isso é relevante para o domínio e para onde a derivada pode ser aplicada. - Não foram dadas restrições adicionais sobre
e , então temos que tratar também casos especiais como ou .
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função de forma mais simples para diferenciar. Observa que a raiz cúbica do quadrado é um expoente racional:
Para ficar claro, seja
assim
Comentário didático rápido: escrever a função como uma potência
facilita o uso da regra da cadeia e da regra de potência. A raiz cúbica de um número real está sempre bem definida, e a expressão acima coincide com
, mas trabalhar com
e com a derivação usando a cadeia dá a forma correta do resultado para
.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia. Se
, então, pela regra da potência composta com a cadeia,
Explicando a regra usada: a regra da potência diz que a derivada de
em relação a
é
. A regra da cadeia diz que para
temos de multiplicar por
. Aqui
, então
.
Passo 4
Agora precisamos de
, com
. Usamos a regra do quociente: se
então
. Tome
e
. Então
e
. Portanto
Agora simplificamos o numerador:
Logo
Pequena verificação mental: se
então o numerador é zero e
é constante (igual a
para
onde definido), então faz sentido
.
Passo 5
Substituímos
em
:
Multiplicando os coeficientes obtemos
Passo 6
Agora escrevemos
em termos de
. Como
, tem-se
Substituindo em
:
Agora juntamos as potências de
:
Portanto obtemos a forma simplificada
Passo 7
Condições de validade e casos especiais (importante para a prova):
- A fórmula acima vale quando os denominadores que apareceram são não nulos, isto é, quando
(porque a função original já exige isso) e também quando (para evitar divisão por zero na expressão final da derivada). Em termos de , isso significa e (quando ). - Se
e então (a função está definida aí) mas a derivada não existe porque há singularidade do tipo potência com exponente menor que (cusp), conforme visto pela divergência de quando . - Se
então (se ) e a função é constante igual a : de fato . Assim para e temos (para todos os em que a expressão faz sentido; note que se a condição vira , então se não há pontos excluídos por ). Se e a função é indefinida ( ), então não há derivada. - Caso particular
e : a expressão geral fornece para (mas está fora do domínio porque aí).
Resposta
Para
e
:
Para
:
Para
: a função é indefinida (não existe derivada).