Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I)
, onde
II)
, onde
III)
IV)
, onde
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede: temos a função
e a missão é calcular a derivada
.
Observação sobre a notação: pela convenção trigonométrica, é a cossecante, que também escrevemos como
e que se define por
Observação sobre a notação: pela convenção trigonométrica,
Passo 2
Reescrevo a função de forma conveniente para derivar usando a regra do quociente (regra VI):
Vou chamar o numerador de
e o denominador de
, para aplicar a fórmula:
Passo 3
Derivada do numerador
: como
é constante, uso a regra I:
Explicação rápida: a derivada de uma constante é zero porque constantes não mudam quando a variável varia.
Passo 4
Derivada do denominador
: uso a regra IX que diz que
. Logo
Explicação: a derivada da função seno é a função cosseno — é uma das derivadas trigonométricas básicas.
Passo 5
Aplico a regra do quociente (regra VI):
Substituindo
:
Passo a passo da simplificação: o primeiro termo do numerador some porque
, sobra
no numerador; o denominador é
ao quadrado.
Passo 6
Escrevo a resposta em forma trigonométrica conhecida. Usando
e
, temos:
Comentário final rápido: ambas as formas
e
são equivalentes; na prova você pode apresentar a que preferir.