Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I) \text{(c)}^{\prime}=0, onde c \in \mathbb{R}
II) \left(x^{n}\right)^{\prime}=n . x^{n-1}, onde n \in \mathbb{R}
III) (f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
IV) (c . f(x))^{\prime}=c . f^{\prime}(x), onde c \in \mathbb{R}
V) (f(x) \cdot g(x))=f(x) \cdot g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x) \cdot g(x)
VI) \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}
VII) \left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)}
VIII) (\ln |f(x)|)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}
IX) (\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x)
X) (\cos (x))^{\prime}=-\operatorname{sen}(x)
f(x)=\operatorname{cossec}(x)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: temos a função f(x)=\operatorname{cossec}(x) e a missão é calcular a derivada f^{\prime}(x).
Observação sobre a notação: pela convenção trigonométrica, \operatorname{cossec}(x) é a cossecante, que também escrevemos como \csc(x) e que se define por
\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}.

Passo 2

Reescrevo a função de forma conveniente para derivar usando a regra do quociente (regra VI):
f(x)=\frac{1}{\sin(x)}.
Vou chamar o numerador de p(x) e o denominador de q(x), para aplicar a fórmula:
p(x)=1,\qquad q(x)=\sin(x).

Passo 3

Derivada do numerador p(x): como p(x) é constante, uso a regra I:
p^{\prime}(x)=0.
Explicação rápida: a derivada de uma constante é zero porque constantes não mudam quando a variável varia.

Passo 4

Derivada do denominador q(x): uso a regra IX que diz que (\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos(x). Logo
q^{\prime}(x)=\cos(x).
Explicação: a derivada da função seno é a função cosseno — é uma das derivadas trigonométricas básicas.

Passo 5

Aplico a regra do quociente (regra VI):
\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)^{\prime}=\frac{p^{\prime}(x)\,q(x)-p(x)\,q^{\prime}(x)}{[q(x)]^{2}}.
Substituindo p,p^{\prime},q,q^{\prime}:
f^{\prime}(x)=\frac{0\cdot\sin(x)-1\cdot\cos(x)}{[\sin(x)]^{2}}=\frac{-\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.
Passo a passo da simplificação: o primeiro termo do numerador some porque p^{\prime}(x)=0, sobra -\cos(x) no numerador; o denominador é \sin(x) ao quadrado.

Passo 6

Escrevo a resposta em forma trigonométrica conhecida. Usando \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)} e \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}, temos:
\frac{-\cos(x)}{\sin^{2}(x) } = -\left(\frac{1}{\sin(x)}\right)\left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = -\csc(x)\cot(x).
Comentário final rápido: ambas as formas -\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} e -\csc(x)\cot(x) são equivalentes; na prova você pode apresentar a que preferir.

Resposta

-\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}
-\csc(x)\cot(x)

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