Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I) \text{(c)}^{\prime}=0, onde c \in \mathbb{R}
II) \left(x^{n}\right)^{\prime}=n . x^{n-1}, onde n \in \mathbb{R}
III) (f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
IV) (c . f(x))^{\prime}=c . f^{\prime}(x), onde c \in \mathbb{R}
V) (f(x) \cdot g(x))=f(x) \cdot g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x) \cdot g(x)
VI) \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}
VII) \left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)}
VIII) (\ln |f(x)|)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}
IX) (\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x)
X) (\cos (x))^{\prime}=-\operatorname{sen}(x)
f(x)=3 x^{5}+4 x^{3}+x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=3x^{5}+4x^{3}+x+2.
As informações fornecidas são as regras de derivação numeradas I) a X) (por exemplo: derivada de constante, regra do poder, soma, múltiplo por constante etc.). O objetivo é aplicar essas regras para obter f'(x).

Passo 2

Primeira observação didática (regra da soma): quando temos uma soma de funções, podemos derivar termo a termo usando a regra
(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x),
que é a regra III). Isso significa que
f'(x) = (3x^{5})' + (4x^{3})' + (x)' + (2)'.
Vou derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Derivando 3x^{5}: usei a regra IV) (constante vezes função) e a regra II) (regra do poder).
A regra IV) diz que (c\cdot h(x))' = c\cdot h'(x), onde c é constante.
A regra II) diz que (x^{n})' = n\cdot x^{n-1}, onde n é constante.
Aplicando:
(3x^{5})' = 3\cdot (x^{5})' = 3\cdot (5x^{4}) = 15x^{4}.
Explicando: o expoente 5 “desce” multiplicando e fica x^{5-1}=x^{4}.

Passo 4

Derivando 4x^{3}: mesma ideia, constante 4 vezes x^{3}.
(4x^{3})' = 4\cdot (x^{3})' = 4\cdot (3x^{2}) = 12x^{2}.
Aqui o expoente 3 vira o fator multiplicativo e o novo expoente é 3-1=2.

Passo 5

Derivando x: escrevemos x como x^{1} e aplicamos a regra do poder:
(x)' = (x^{1})' = 1\cdot x^{0} = 1.
Observação didática: x^{0}=1, então a derivada de x é 1.

Passo 6

Derivando a constante 2: pela regra I), a derivada de qualquer constante é zero:
(2)' = 0.

Passo 7

Agora somamos todas as derivadas termo a termo (regra da soma já usada):
f'(x) = 15x^{4} + 12x^{2} + 1 + 0.
Simplificando:
f'(x) = 15x^{4} + 12x^{2} + 1.

Resposta

15x^{4}+12x^{2}+1

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