Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
Pergunta: encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Observação útil para começar: a função é um produto de duas partes:
Quando temos um produto
, usamos a regra do produto. Vou explicar essa regra com calma.
Regra do produto (explicação): se
então
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
. A ideia é que a taxa de variação do produto tem duas contribuições: a variação de
mantendo
fixo, mais a variação de
mantendo
fixo.
Passo 3
Calculemos
. Como
, usamos a regra da potência e a linearidade da derivada:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante (
) é .
Portanto
Passo 4
Agora precisamos de
com
. Primeiro reescrevemos a raiz como potência:
Para derivar uma função composta do tipo
usamos a regra da cadeia. Vou explicar:
Regra da cadeia (explicação): se
com
, então
No nosso caso
e
. A derivada de
é
A derivada de
é
Aplicando a regra da cadeia:
Voltando à raiz, isso é
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com os resultados
,
,
e
:
Essa expressão já está correta; agora vamos simplificar para uma forma única.
Passo 6
Vamos colocar os termos sobre um denominador comum
. O primeiro termo
escrevemos multiplicando por
(isso é multiplicar por
):
O segundo termo já tem denominador
:
Somando os numeradores sobre o mesmo denominador:
Passo 7
Agora expandimos e somamos os termos do numerador:
Somando:
Portanto a forma simplificada é