Determinar a função derivada das seguintes funções:
\left(x^{2}+1\right) \sqrt{3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x) = \left(x^{2}+1\right)\sqrt{3x+2}.
Informações dadas:
\text{a função } f(x)=\left(x^{2}+1\right)\sqrt{3x+2}.çã
Pergunta: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Observação útil para começar: a função é um produto de duas partes:
u(x)=x^{2}+1 \qquad\text{e}\qquad v(x)=\sqrt{3x+2}.
Quando temos um produto f(x)=u(x)\,v(x), usamos a regra do produto. Vou explicar essa regra com calma.
Regra do produto (explicação): se f(x)=u(x)\,v(x) então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. A ideia é que a taxa de variação do produto tem duas contribuições: a variação de u mantendo v fixo, mais a variação de v mantendo u fixo.

Passo 3

Calculemos u'(x). Como u(x)=x^{2}+1, usamos a regra da potência e a linearidade da derivada:
  • A derivada de x^{2} é 2x.
  • A derivada de uma constante ( 1) é 0.
Portanto
u'(x)=2x.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x) com v(x)=\sqrt{3x+2}. Primeiro reescrevemos a raiz como potência:
v(x)=(3x+2)^{1/2}.
Para derivar uma função composta do tipo (g(x))^{\alpha} usamos a regra da cadeia. Vou explicar:
Regra da cadeia (explicação): se v(x)=h(g(x)) com h(t)=t^{\alpha}, então
v'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso h(t)=t^{1/2} e g(x)=3x+2. A derivada de h é
h'(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2}.
A derivada de g é
g'(x)=3.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=\frac{1}{2}(3x+2)^{-1/2}\cdot 3 = \frac{3}{2}(3x+2)^{-1/2}.
Voltando à raiz, isso é
v'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com os resultados u'(x)=2x, u(x)=x^{2}+1, v(x)=\sqrt{3x+2} e v'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+2}}:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =2x\sqrt{3x+2}+(x^{2}+1)\cdot\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}.
Essa expressão já está correta; agora vamos simplificar para uma forma única.

Passo 6

Vamos colocar os termos sobre um denominador comum 2\sqrt{3x+2}. O primeiro termo 2x\sqrt{3x+2} escrevemos multiplicando por \dfrac{2\sqrt{3x+2}}{2\sqrt{3x+2}} (isso é multiplicar por 1):
2x\sqrt{3x+2} = \frac{2x\sqrt{3x+2}\cdot 2\sqrt{3x+2}}{2\sqrt{3x+2}} = \frac{4x(3x+2)}{2\sqrt{3x+2}}.
O segundo termo já tem denominador 2\sqrt{3x+2}:
(x^{2}+1)\cdot\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}=\frac{3(x^{2}+1)}{2\sqrt{3x+2}}.
Somando os numeradores sobre o mesmo denominador:
f'(x)=\frac{4x(3x+2)+3(x^{2}+1)}{2\sqrt{3x+2}}.

Passo 7

Agora expandimos e somamos os termos do numerador:
4x(3x+2)=12x^{2}+8x,
3(x^{2}+1)=3x^{2}+3.
Somando:
12x^{2}+8x+3x^{2}+3=15x^{2}+8x+3.
Portanto a forma simplificada é
f'(x)=\frac{15x^{2}+8x+3}{2\sqrt{3x+2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{15x^{2}+8x+3}{2\sqrt{3x+2}}

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