Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{a+b \sqrt{x}}, a, b \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a função derivada de f(x)=\sqrt{a+b\sqrt{x}}, com a,b\in\mathbb{R}.
Informações dadas e condições iniciais importantes:
  • A expressão contém raízes quadradas, então, para a função ser real, é necessário que \sqrt{x} esteja definida (isto é, x\ge 0) e que a expressão dentro da raiz externa satisfaça a+b\sqrt{x}\ge 0.
  • Não foi dado nenhum outro tipo de restrição sobre a ou b, então devemos apresentar a derivada válida nos pontos onde a função é diferenciável (em particular para x>0, e discutir o caso x=0 separadamente).
  • Pedido: calcular f'(x) (a derivada de f em relação a x).

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicando com calma):
  • Regra da cadeia: se F(x)=g(h(x)), então F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Essa regra diz que derivamos a função externa avaliando na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
  • Derivada da raiz quadrada (ou potência de expoente 1/2): para g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}, temos g'(u)=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}, desde que u>0. Aqui u vai ser a expressão interna.
  • Derivada de \sqrt{x} em termos de potências: \sqrt{x}=x^{1/2} e \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0.
    Vou aplicar essas duas regras aninhadas (cadeia duas vezes) porque temos uma raiz dentro de outra raiz.

Passo 3

Definimos as funções internas para aplicar a regra da cadeia de forma organizada:
  • Seja u(x)=a+b\sqrt{x}. Então f(x)=\sqrt{u(x)}=(u(x))^{1/2}.
  • Para usar a regra da cadeia, primeiro precisamos de g(u)=\sqrt{u} e h(x)=u(x). Assim f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).

Passo 4

Calculando g'(u): como g(u)=u^{1/2}, temos
g'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 5

Agora calculamos u'(x). Lembrando que u(x)=a+b\sqrt{x}=a+b x^{1/2}. A derivada de a é 0 e a derivada de b x^{1/2} é b vezes a derivada de x^{1/2}. Como \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0, obtemos
u'(x)=b\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{b}{2\sqrt{x}},\qquad (x>0).

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x): substituindo g'(u) e u'(x),
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot\frac{b}{2\sqrt{x}}.
Agora substituímos u(x)=a+b\sqrt{x} para deixar tudo em função de x:
f'(x)=\frac{b}{4\sqrt{x}\,\sqrt{a+b\sqrt{x}}},\qquad (x>0).

Passo 7

Discussão sobre domínio e o ponto x=0:
  • A fórmula obtida em \(x>0) é válida para todos os x>0 tais que a+b\sqrt{x}>0 (ou a+b\sqrt{x}\ge 0 com cuidado, porque a derivada de \sqrt{\cdot} exige o argumento positivo para escrever \frac{1}{2\sqrt{\cdot}}). Em termos práticos, exigimos x>0 e a+b\sqrt{x}>0.
  • No ponto x=0: a função está definida em 0 se e somente se a+b\sqrt{0}=a\ge 0. Entretanto, a derivada à direita em 0 geralmente não existe quando b\neq 0: a diferença incremental se comporta como uma constante vezes \sqrt{h}, de modo que \dfrac{f(h)-f(0)}{h} tende a infinito quando h\to 0^+. Portanto
    • Se b\neq 0 e a\ge 0, f não é diferenciável em x=0 (tende a uma inclinação vertical).
    • Se b=0, então f(x)=\sqrt{a} é constante (quando definido), e f'(x)=0 para todo x no domínio; em particular f'(0)=0.

Passo 8

Resumo final do resultado prático que você usará na prova: a derivada para os pontos internos do domínio com x>0 é a expressão simplificada que obtivemos; trate o ponto x=0 separadamente conforme acima.

Resposta

f'(x)=\dfrac{b}{4\sqrt{x}\,\sqrt{a+b\sqrt{x}}}, para x>0 e desde que a+b\sqrt{x}>0.\nSe x=0: se b\neq0 a derivada em 0 não existe (mesmo que a\ge0); se b=0 então f(x)=\sqrt{a} e f'(x)=0.

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