Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o problema pede: determinar a função derivada de
, com
.
Informações dadas e condições iniciais importantes:
Informações dadas e condições iniciais importantes:
- A expressão contém raízes quadradas, então, para a função ser real, é necessário que
esteja definida (isto é, ) e que a expressão dentro da raiz externa satisfaça . - Não foi dado nenhum outro tipo de restrição sobre
ou , então devemos apresentar a derivada válida nos pontos onde a função é diferenciável (em particular para , e discutir o caso separadamente). - Pedido: calcular
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicando com calma):
- Regra da cadeia: se
, então . Essa regra diz que derivamos a função externa avaliando na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna. - Derivada da raiz quadrada (ou potência de expoente
): para , temos , desde que . Aqui vai ser a expressão interna. - Derivada de
em termos de potências: e para .
Vou aplicar essas duas regras aninhadas (cadeia duas vezes) porque temos uma raiz dentro de outra raiz.
Passo 3
Definimos as funções internas para aplicar a regra da cadeia de forma organizada:
- Seja
. Então . - Para usar a regra da cadeia, primeiro precisamos de
e . Assim .
Passo 4
Calculando
: como
, temos
Passo 5
Agora calculamos
. Lembrando que
. A derivada de
é
e a derivada de
é
vezes a derivada de
. Como
para
, obtemos
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia
: substituindo
e
,
Agora substituímos
para deixar tudo em função de
:
Passo 7
Discussão sobre domínio e o ponto
:
- A fórmula obtida em
) é válida para todos os
tais que (ou com cuidado, porque a derivada de exige o argumento positivo para escrever ). Em termos práticos, exigimos e . - No ponto
: a função está definida em se e somente se . Entretanto, a derivada à direita em geralmente não existe quando : a diferença incremental se comporta como uma constante vezes , de modo que tende a infinito quando . Portanto - Se
e , não é diferenciável em (tende a uma inclinação vertical). - Se
, então é constante (quando definido), e para todo no domínio; em particular .
- Se
Passo 8
Resumo final do resultado prático que você usará na prova: a derivada para os pontos internos do domínio com
é a expressão simplificada que obtivemos; trate o ponto
separadamente conforme acima.