Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}^{3}(5 x) \cos ^{2}\left(\frac{x}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(x)=\sin^{3}(5x)\,\cos^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right).
Informações importantes dadas:
\text{função }f(x)=\sin^{3}(5x)\cos^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right).çã
A tarefa é calcular f'(x). Não há outras informações (por exemplo, ponto específico); queremos a expressão geral de f'(x).

Passo 2

Vamos organizar a solução usando a regra do produto. Sempre que temos um produto de duas funções, u(x) e v(x), a derivada é
(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Aqui escolhemos
u(x)=\sin^{3}(5x),\qquad v(x)=\cos^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right).
Nosso próximo passo é calcular u'(x) e v'(x) separadamente. Vou explicar as regras que vou usar: regra da cadeia e regra da potência.

Passo 3

Derivando u(x)=\sin^{3}(5x). Isto é uma composição: uma potência aplicada a \sin(5x). A regra da potência e a regra da cadeia juntas dizem:
\frac{d}{dx}\bigl[\sin^{3}(5x)\bigr]=3\sin^{2}(5x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\sin(5x)\bigr].
Agora derivamos \sin(5x). A regra da cadeia aplicada a \sin(5x) dá:
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(5x)\bigr]=\cos(5x)\cdot\frac{d}{dx}(5x)=\cos(5x)\cdot 5.
Juntando,
u'(x)=3\sin^{2}(5x)\cdot\bigl(5\cos(5x)\bigr)=15\sin^{2}(5x)\cos(5x).
Explicação curta: multiplicamos por 3 (potência), mantemos \sin^{2}(5x) e multiplicamos pela derivada interna 5\cos(5x).

Passo 4

Derivando v(x)=\cos^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right). Mesma ideia: potência sobre \cos(x/3). Pela regra da potência + cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\bigr]=2\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\bigr].
A derivada de \cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right) é
\frac{d}{dx}\bigl[\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\bigr]=-\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{x}{3}\right)=-\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}.
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v'(x)=2\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cdot\left(-\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right).
Observação útil (opcional): como 2\sin a\cos a=\sin(2a), podemos também escrever
v'(x)=-\frac{1}{3}\sin\!\left(\tfrac{2x}{3}\right),
mas vou manter a forma com \sin e \cos para combinar melhor com a outra parte.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que calculamos:
f'(x)=\bigl(15\sin^{2}(5x)\cos(5x)\bigr)\cdot\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{3}\right)+\sin^{3}(5x)\cdot\left(-\frac{2}{3}\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\right).
Portanto
f'(x)=15\sin^{2}(5x)\cos(5x)\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{3}\right)-\frac{2}{3}\sin^{3}(5x)\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right).

Passo 6

Vamos deixar a expressão mais organizada e, se possível, fatorar um fator comum para ficar mais bonito e fácil de ler na prova. Observe que ambos os termos têm o fator \sin^{2}(5x) e \cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right). Então fatoramos:
\begin{aligned} f'(x)&=\sin^{2}(5x)\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\Bigl(15\cos(5x)\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)-\frac{2}{3}\sin(5x)\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\Bigr). \end{aligned}
Se preferirmos retirar um fator \tfrac{1}{3} também, fica
f'(x)=\frac{1}{3}\sin^{2}(5x)\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\Bigl(45\cos(5x)\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right)-2\sin(5x)\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\Bigr).
Ambas as formas estão corretas; a segunda mostra um fator comum \tfrac{1}{3} que pode ser conveniente em algumas manipulações.

Resposta

f'(x)=15\sin^{2}(5x)\cos(5x)\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{3}\right)-\frac{2}{3}\sin^{3}(5x)\sin\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{3}\right).

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