Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações importantes dadas:
A tarefa é calcular
. Não há outras informações (por exemplo, ponto específico); queremos a expressão geral de
.
Passo 2
Vamos organizar a solução usando a regra do produto. Sempre que temos um produto de duas funções,
e
, a derivada é
Aqui escolhemos
Nosso próximo passo é calcular
e
separadamente. Vou explicar as regras que vou usar: regra da cadeia e regra da potência.
Passo 3
Derivando
. Isto é uma composição: uma potência aplicada a
. A regra da potência e a regra da cadeia juntas dizem:
Agora derivamos
. A regra da cadeia aplicada a
dá:
Juntando,
Explicação curta: multiplicamos por
(potência), mantemos
e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 4
Derivando
. Mesma ideia: potência sobre
. Pela regra da potência + cadeia:
A derivada de
é
Logo
Observação útil (opcional): como
, podemos também escrever
mas vou manter a forma com
e
para combinar melhor com a outra parte.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
que calculamos:
Portanto
Passo 6
Vamos deixar a expressão mais organizada e, se possível, fatorar um fator comum para ficar mais bonito e fácil de ler na prova. Observe que ambos os termos têm o fator
e
. Então fatoramos:
Se preferirmos retirar um fator
também, fica
Ambas as formas estão corretas; a segunda mostra um fator comum
que pode ser conveniente em algumas manipulações.