Resolva o problema de valor inicial.
d yd x+3 yx+2=3 x, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx + 3,yx + 2 = 3x,
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo aqui é EDO linear: devemos escrever na forma padrão dydx + P(x),y = Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Colocando em forma padrão, isolamos o termo constante:
dydx + 3x,y = 3x - 2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 3x,dxr) = exp(3ln x) = x^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^3, obtendo
x^3dydx + 3x^2y = x^3(3x-2) = 3x^4 - 2x^3
O lado esquerdo é exatamente ddx(x^3y).

Passo 5

Integrando em x,
x^3y = integrall(3x^4 - 2x^3r),dx = 35x^5 - 12x^4 + C

Passo 6

Isolamos y e aplicamos y(1)=1:
y = 35x^5 - 12x^4 + Cx^3 = 35x^2 - 12x + C,x^-3,
1 = y(1) = 35 - 12 + C Longrightarrow C = 1 - 35 + 12 = 910

Resposta

y(x) = 35x^2 ;-;12x ;+;910,x^-3

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