Uma mola de constante elástica 20 N / m é presa a uma partícula de massa 2 kg . Tal sistema encontrase num meio onde há a ação de uma força dissipativa Fd proporcional à velocidade da partícula v, com constante de proporcionalidade -44 N s / m (ou seja, Fd=-44 v ). Assuma que não existe força externa agindo sobre a partícula. Suponha que no instante t=0 soltamos a massa da sua posição de equilíbrio com velocidade de 12 m / s para cima. a) Descreva a posição da partícula em função do tempo. b) O que acontece com a partícula quando t infty ?

Passo 1

Estamos diante de um sistema massa-mola com amortecimento viscoso, sem força externa. A massa é m=2,kg, a constante da mola é k=20,N/m e o coeficiente de atrito viscoso é b=44, Ncdot s/m (força dissipativa ,Fd=-44,v). No instante t=0 a massa é solta da posição de equilíbrio ( x(0)=0) com velocidade inicial para cima v(0)=12,m/s. Vamos encontrar x(t) e estudar o comportamento quando ttoinfty.

Passo 2

A equação de movimento do amortecedor viscoso é
mddotx+bdotx+k,x=0
Substituindo m=2, b=44 e k=20, e dividindo por 2, obtemos
ddotx+22dotx+10x=0
A equação característica associada é
r^2+22r+10=0,
cuja solução é
r=-22pmraiz22^2-4cdot102 =-22pmraiz484-402 =-11pmraiz111

Passo 3

A solução geral da equação é
x(t)=C1e^(-11+raiz111)t+C2e^(-11-raiz111)t
Impondo x(0)=0 fica
C1+C2=0Rightarrow C2=-C1
A derivada é
dotx(t)=C1(-11+raiz111)e^(-11+raiz111)t +C2(-11-raiz111)e^(-11-raiz111)t
Em t=0,
dotx(0)=C1(-11+raiz111)+C2(-11-raiz111) =C1l[(-11+raiz111)+(11+raiz111)r] =2raiz111,C1=12
Logo
C1=122raiz111=6raiz111, C2=-6raiz111
Portanto
x(t) =6raiz111l(e^(-11+raiz111)t-e^(-11-raiz111)tr)

Passo 4

Como as duas raízes -11pmraiz111 são negativas, ambas as exponenciais decaem a zero. Assim quando ttoinfty temos
x(t)to0 e dotx(t)to0,
ou seja, a partícula retorna monotonamente à posição de equilíbrio e para sem oscilar.

Resposta

a)
x(t) =6raiz111l(e^(-11+raiz111)t-e^(-11-raiz111)tr)
b) Quando ttoinfty, x(t)to0: a massa volta ao equilíbrio e permanece parada.

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