Uma mola de constante elástica
é presa a uma partícula de massa 2 kg . Tal sistema encontrase num meio onde há a ação de uma força dissipativa
proporcional à velocidade da partícula
, com constante de proporcionalidade
(ou seja,
). Assuma que não existe força externa agindo sobre a partícula. Suponha que no instante
soltamos a massa da sua posição de equilíbrio com velocidade de
para cima. a) Descreva a posição da partícula em função do tempo. b) O que acontece com a partícula quando
?
Passo 1
Estamos diante de um sistema massa-mola com amortecimento viscoso, sem força externa. A massa é
,kg, a constante da mola é
,N/m e o coeficiente de atrito viscoso é
,
/m (força dissipativa
). No instante
a massa é solta da posição de equilíbrio (
) com velocidade inicial para cima
,m/s. Vamos encontrar
e estudar o comportamento quando
.
Passo 2
A equação de movimento do amortecedor viscoso é
Substituindo
,
e
, e dividindo por
, obtemos
A equação característica associada é
cuja solução é
Passo 3
A solução geral da equação é
Impondo
fica
A derivada é
Em
,
Logo
Portanto
Passo 4
Como as duas raízes
são negativas, ambas as exponenciais decaem a zero. Assim quando
temos
ou seja, a partícula retorna monotonamente à posição de equilíbrio e para sem oscilar.
Resposta
a)
b) Quando
,
: a massa volta ao equilíbrio e permanece parada.