Determinar as funções inversas das seguintes funções:
g(x)=\frac{3 x+5}{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função inversa da função g dada por
g(x)=\frac{3x+5}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de g é \displaystyle g(x)=\frac{3x+5}{2}.
  • Não há restrição explícita de domínio no enunciado; pela forma da expressão (denominador constante não nulo) podemos considerar que g está definida para todos os reais.
  • A tarefa é encontrar a função g^{-1} que “desfaz” a ação de g, isto é, que satisfaça g(g^{-1}(x))=x e g^{-1}(g(x))=x.

Passo 2

Ideia prática para encontrar a inversa: chutar o nome do valor de saída como y, escrever y=g(x) e então resolver essa equação para x em função de y. Isso isola o que era a entrada em termos da saída — exatamente o que a inversa precisa fazer. Começamos:
y=\frac{3x+5}{2}.
Agora vou isolar x passo a passo, explicando cada operação.

Passo 3

Multiplicar ambos os lados da igualdade por 2 (operação válida porque preserva a igualdade) para eliminar o denominador:
2y = 3x+5.

Passo 4

Subtrair 5 de ambos os lados (novamente uma operação que preserva a igualdade) para deixar o termo com x sozinho do lado direito:
2y-5 = 3x.

Passo 5

Dividir ambos os lados por 3 para isolar x:
x = \frac{2y-5}{3}.
Pronto: encontramos x em função de y. Isto significa que, se a saída de g é y, então a entrada original x é \dfrac{2y-5}{3}.

Passo 6

Trocar y por x para escrever a inversa na notação usual (a variável de entrada da função inversa é chamada de x):
g^{-1}(x)=\frac{2x-5}{3}.
Explicação do porquê dessa troca: quando encontramos x em função de y estamos expressando a entrada original em termos da saída; para definir a função inversa usamos a convenção de chamar a variável de entrada por x.

Passo 7

Verificação rápida (importante para a prova): conferir que g(g^{-1}(x))=x e g^{-1}(g(x))=x.
Calcule g(g^{-1}(x)):
g\!\left(g^{-1}(x)\right)=\frac{3\left(\dfrac{2x-5}{3}\right)+5}{2}.
Simplificando o numerador:
3\left(\dfrac{2x-5}{3}\right)+5 = (2x-5)+5 = 2x.
Logo
g\!\left(g^{-1}(x)\right)=\frac{2x}{2}=x.
Agora calcule g^{-1}(g(x)):
g^{-1}\!\left(g(x)\right)=\frac{2\left(\dfrac{3x+5}{2}\right)-5}{3}.
Simplificando o numerador:
2\left(\dfrac{3x+5}{2}\right)-5 = (3x+5)-5 = 3x.
Logo
g^{-1}\!\left(g(x)\right)=\frac{3x}{3}=x.
Ambas as composições devolvem x, portanto a inversa está correta.

Passo 8

Observações úteis para a prova (dicas rápidas e amigáveis):
  • Uma função linear do tipo \dfrac{3x+5}{2} é bijetora (injetora e sobrejetora) quando o coeficiente de x não é zero; aqui o coeficiente é \dfrac{3}{2}\neq 0, então existe inversa.
  • Receita prática para inverter funções afins (reta): trocar y por x, isolar x fazendo as operações contrárias (subtração em vez de adição, divisão em vez de multiplicação), e no final trocar y por x novamente para escrever a inversa.
  • Domínio e imagem: como g é definida para todos os reais e é bijetora, g^{-1} também tem domínio \mathbb{R} e imagem \mathbb{R}.

Resposta

g^{-1}(x)=\dfrac{2x-5}{3}

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