Determinar as funções inversas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função inversa da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
é . - Não há restrição explícita de domínio no enunciado; pela forma da expressão (denominador constante não nulo) podemos considerar que
está definida para todos os reais. - A tarefa é encontrar a função
que “desfaz” a ação de , isto é, que satisfaça e .
Passo 2
Ideia prática para encontrar a inversa: chutar o nome do valor de saída como
, escrever
e então resolver essa equação para
em função de
. Isso isola o que era a entrada em termos da saída — exatamente o que a inversa precisa fazer. Começamos:
Agora vou isolar
passo a passo, explicando cada operação.
Passo 3
Multiplicar ambos os lados da igualdade por
(operação válida porque preserva a igualdade) para eliminar o denominador:
Passo 4
Subtrair
de ambos os lados (novamente uma operação que preserva a igualdade) para deixar o termo com
sozinho do lado direito:
Passo 5
Dividir ambos os lados por
para isolar
:
Pronto: encontramos
em função de
. Isto significa que, se a saída de
é
, então a entrada original
é
.
Passo 6
Trocar
por
para escrever a inversa na notação usual (a variável de entrada da função inversa é chamada de
):
Explicação do porquê dessa troca: quando encontramos
em função de
estamos expressando a entrada original em termos da saída; para definir a função inversa usamos a convenção de chamar a variável de entrada por
.
Passo 7
Verificação rápida (importante para a prova): conferir que
e
.
Calcule
:
Simplificando o numerador:
Logo
Agora calcule
:
Simplificando o numerador:
Logo
Ambas as composições devolvem
, portanto a inversa está correta.
Passo 8
Observações úteis para a prova (dicas rápidas e amigáveis):
- Uma função linear do tipo
é bijetora (injetora e sobrejetora) quando o coeficiente de não é zero; aqui o coeficiente é , então existe inversa. - Receita prática para inverter funções afins (reta): trocar
por , isolar fazendo as operações contrárias (subtração em vez de adição, divisão em vez de multiplicação), e no final trocar por novamente para escrever a inversa. - Domínio e imagem: como
é definida para todos os reais e é bijetora, também tem domínio e imagem .