Questão 1: Calcule o limite, se existir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão é a soma de duas frações:
e . - Se eu fizesse substituição direta com
, teria , ou seja, divisão por zero — a expressão não está definida em . Portanto não podemos avaliar o limite por substituição direta; é preciso manipular algebraicamente para entender o comportamento quando se aproxima de .
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o polinômio do segundo denominador. Observando
, procuramos dois números cujo produto é
e cuja soma é
. Esses números são
e
. Logo
Isso mostra explicitamente que o segundo denominador também zera em
(e em
). Anote: quando fatoramos assim fica mais fácil juntar as frações.
Passo 3
Vamos somar as duas frações usando o mesmo denominador. Escrevo ambas com denominador comum
:
e
Somando:
Mostrei cada passo: escrevi cada fração com o mesmo denominador, somei numeradores e simplifiquei o numerador.
Passo 4
Agora observe que, para
, o fator
cancela no numerador e no denominador. Ou seja, para todo
diferente de
,
Explicação didática: o cancelamento é válido para qualquer
onde ambos os lados estão definidos (ou seja,
e
). Ao calcular um limite quando
nós só precisamos do valor da expressão para
próximos, mas diferentes de
; portanto podemos substituir a expressão original pela forma simplificada
ao estudar o limite. Além disso, a função
é contínua no ponto
porque o denominador fica
(não nulo), então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
.
Passo 5
Avalio o limite da forma simplificada:
Conclusão: o limite existe, é finito e igual a
.
Dica rápida para a prova: quando aparecer soma de frações que dão divisão por zero ao substituir, tente fatorar e pôr sobre um denominador comum — muitas vezes o problema é apenas um fator cancelável (singularidade removível). Um exemplo parecido e simples é
.