Questão 1: Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^{2}-4 x+3}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^{2}-4x+3}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é a soma de duas frações: \frac{1}{x-1} e \frac{2}{x^{2}-4x+3}.
  • Se eu fizesse substituição direta com x=1, teria \frac{1}{0}+\frac{2}{0}, ou seja, divisão por zero — a expressão não está definida em x=1. Portanto não podemos avaliar o limite por substituição direta; é preciso manipular algebraicamente para entender o comportamento quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o polinômio do segundo denominador. Observando x^{2}-4x+3, procuramos dois números cujo produto é 3 e cuja soma é -4. Esses números são -1 e -3. Logo
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Isso mostra explicitamente que o segundo denominador também zera em x=1 (e em x=3). Anote: quando fatoramos assim fica mais fácil juntar as frações.

Passo 3

Vamos somar as duas frações usando o mesmo denominador. Escrevo ambas com denominador comum (x-1)(x-3):
\frac{1}{x-1}=\frac{x-3}{(x-1)(x-3)}
e
\frac{2}{x^{2}-4x+3}=\frac{2}{(x-1)(x-3)}.
Somando:
\frac{x-3}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{(x-1)(x-3)}=\frac{x-3+2}{(x-1)(x-3)}=\frac{x-1}{(x-1)(x-3)}.
Mostrei cada passo: escrevi cada fração com o mesmo denominador, somei numeradores e simplifiquei o numerador.

Passo 4

Agora observe que, para x\neq 1, o fator (x-1) cancela no numerador e no denominador. Ou seja, para todo x diferente de 1,
\frac{x-1}{(x-1)(x-3)}=\frac{1}{x-3}.
Explicação didática: o cancelamento é válido para qualquer x onde ambos os lados estão definidos (ou seja, x\neq 1 e x\neq 3). Ao calcular um limite quando x\to 1 nós só precisamos do valor da expressão para x próximos, mas diferentes de 1; portanto podemos substituir a expressão original pela forma simplificada \frac{1}{x-3} ao estudar o limite. Além disso, a função \frac{1}{x-3} é contínua no ponto x=1 porque o denominador fica -2 (não nulo), então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=1.

Passo 5

Avalio o limite da forma simplificada:
\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-3}=\frac{1}{1-3}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.
Conclusão: o limite existe, é finito e igual a -\tfrac{1}{2}.
Dica rápida para a prova: quando aparecer soma de frações que dão divisão por zero ao substituir, tente fatorar e pôr sobre um denominador comum — muitas vezes o problema é apenas um fator cancelável (singularidade removível). Um exemplo parecido e simples é \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=2.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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