Determinar as funções de probabilidade,
, e de distribuição cumulativa,
e os parâmetros
e
para as distribuições binomiais
e
.
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das duas variáveis aleatórias binomiais, que determinemos:
- a função de probabilidade
para ; - a função de distribuição cumulativa
para ; - os parâmetros
(esperança), (variância) e (desvio padrão).
As duas distribuições fornecidas são (assumimos a notação
com
a probabilidade de sucesso e
o número de ensaios):
-
, ou seja e ; -
, ou seja e .
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula e a intuição do binomial (aula rápida e prática).
- A probabilidade de obter exatamente
sucessos em ensaios independentes com probabilidade de sucesso em cada um é dada por
onde
(lê‑se “combinatório” ou “coeficiente binomial”) conta de quantas maneiras escolher
sucessos entre
ensaios e vale
- A função de distribuição cumulativa é a soma das probabilidades até
:
- As fórmulas para os parâmetros são diretas e muito usadas em provas:
Agora aplicamos isso com
e os dois valores de
.
Passo 3
Cálculo prático para
. Primeiro calculamos potências úteis:
Usamos a fórmula
. Vou listar
para
mostrando os cálculos essenciais.
Passo 4
Probabilidades
para
:
Passo 5
Função de distribuição cumulativa
para
(somando as probabilidades crescentemente):
Passo 6
Parâmetros para
usando as fórmulas:
Passo 7
Agora
. Aqui
e
. Calculamos as potências úteis primeiro:
Usamos a mesma fórmula
e calculamos para
.
Passo 8
Probabilidades
para
:
Passo 9
Função de distribuição cumulativa
para
(somando em ordem crescente):
Passo 10
Parâmetros para
:
Resposta
Para
:
Para
: