Determinar as funções de probabilidade, \mathrm{f}(\mathrm{x}), e de distribuição cumulativa, \mathrm{F}(\mathrm{x}) e os parâmetros \mu, \sigma^{2} e \sigma para as distribuições binomiais X \sim b(0,2,8) e X \sim b(0,85,8).

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das duas variáveis aleatórias binomiais, que determinemos:
  1. a função de probabilidade \mathrm{f}(x)=P(X=x) para x=0,1,\dots,8;
  2. a função de distribuição cumulativa \mathrm{F}(x)=P(X\le x) para x=0,1,\dots,8;
  3. os parâmetros \mu (esperança), \sigma^{2} (variância) e \sigma (desvio padrão).
As duas distribuições fornecidas são (assumimos a notação b(p,n) com p a probabilidade de sucesso e n o número de ensaios):
  • X \sim b(0{,}2,8), ou seja n=8 e p=0{,}2;
  • X \sim b(0{,}85,8), ou seja n=8 e p=0{,}85.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula e a intuição do binomial (aula rápida e prática).
  • A probabilidade de obter exatamente x sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada um é dada por
\mathrm{f}(x)=P(X=x)=\binom{n}{x} p^{x} (1-p)^{\,n-x},
onde \binom{n}{x} (lê‑se “combinatório” ou “coeficiente binomial”) conta de quantas maneiras escolher x sucessos entre n ensaios e vale
\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}.
  • A função de distribuição cumulativa é a soma das probabilidades até x:
\mathrm{F}(x)=P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x}\mathrm{f}(k).
  • As fórmulas para os parâmetros são diretas e muito usadas em provas:
\mu = E[X]=n p,
\sigma^{2}=\operatorname{Var}(X)=n p(1-p),
\sigma=\sqrt{n p(1-p)}.
Agora aplicamos isso com n=8 e os dois valores de p.

Passo 3

Cálculo prático para X\sim b(0{,}2,8). Primeiro calculamos potências úteis:
(1-p)=0{,}8,\qquad 0{,}8^{8}=0{,}16777216.
Usamos a fórmula \mathrm{f}(x)=\binom{8}{x} (0{,}2)^{x} (0{,}8)^{8-x}. Vou listar \mathrm{f}(x) para x=0,\dots,8 mostrando os cálculos essenciais.

Passo 4

Probabilidades \mathrm{f}(x)=P(X=x) para X\sim b(0{,}2,8):
\begin{aligned} \mathrm{f}(0)&=\binom{8}{0}(0{,}2)^{0}(0{,}8)^{8}=0{,}16777216,\\[4pt] \mathrm{f}(1)&=\binom{8}{1}(0{,}2)^{1}(0{,}8)^{7}=8\cdot0{,}2\cdot0{,}2097152=0{,}33554432,\\[4pt] \mathrm{f}(2)&=\binom{8}{2}(0{,}2)^{2}(0{,}8)^{6}=28\cdot0{,}04\cdot0{,}262144=0{,}29360128,\\[4pt] \mathrm{f}(3)&=\binom{8}{3}(0{,}2)^{3}(0{,}8)^{5}=56\cdot0{,}008\cdot0{,}32768=0{,}14680064,\\[4pt] \mathrm{f}(4)&=\binom{8}{4}(0{,}2)^{4}(0{,}8)^{4}=70\cdot0{,}0016\cdot0{,}4096=0{,}04587520,\\[4pt] \mathrm{f}(5)&=\binom{8}{5}(0{,}2)^{5}(0{,}8)^{3}=56\cdot0{,}00032\cdot0{,}512=0{,}00917504,\\[4pt] \mathrm{f}(6)&=\binom{8}{6}(0{,}2)^{6}(0{,}8)^{2}=28\cdot0{,}000064\cdot0{,}64=0{,}00114688,\\[4pt] \mathrm{f}(7)&=\binom{8}{7}(0{,}2)^{7}(0{,}8)^{1}=8\cdot0{,}0000128\cdot0{,}8=0{,}00008192,\\[4pt] \mathrm{f}(8)&=\binom{8}{8}(0{,}2)^{8}(0{,}8)^{0}=0{,}00000256. \end{aligned}]

Passo 5

Função de distribuição cumulativa \mathrm{F}(x)=P(X\le x) para X\sim b(0{,}2,8) (somando as probabilidades crescentemente):
\begin{aligned} \mathrm{F}(0)&=0{,}16777216,\\[4pt] \mathrm{F}(1)&=0{,}16777216+0{,}33554432=0{,}50331648,\\[4pt] \mathrm{F}(2)&=0{,}50331648+0{,}29360128=0{,}79691776,\\[4pt] \mathrm{F}(3)&=0{,}79691776+0{,}14680064=0{,}94371840,\\[4pt] \mathrm{F}(4)&=0{,}94371840+0{,}04587520=0{,}98959360,\\[4pt] \mathrm{F}(5)&=0{,}98959360+0{,}00917504=0{,}99876864,\\[4pt] \mathrm{F}(6)&=0{,}99876864+0{,}00114688=0{,}99991552,\\[4pt] \mathrm{F}(7)&=0{,}99991552+0{,}00008192=0{,}99999744,\\[4pt] \mathrm{F}(8)&=1{,}00000000. \end{aligned}]

Passo 6

Parâmetros para X\sim b(0{,}2,8) usando as fórmulas:
\mu = n p = 8\cdot 0{,}2 = 1{,}6,
\sigma^{2}= n p(1-p) = 8\cdot0{,}2\cdot0{,}8 = 1{,}28,
\sigma = \sqrt{1{,}28}\approx 1{,}13137085\\ (\text{aprox. }1{,}1314).

Passo 7

Agora X\sim b(0{,}85,8). Aqui p=0{,}85 e 1-p=0{,}15. Calculamos as potências úteis primeiro:
0{,}85^{8}=0{,}2724905250390625,\qquad 0{,}15^{8}=0{,}0000002562890625.
Usamos a mesma fórmula \mathrm{f}(x)=\binom{8}{x}(0{,}85)^{x}(0{,}15)^{8-x} e calculamos para x=0,\dots,8.

Passo 8

Probabilidades \mathrm{f}(x)=P(X=x) para X\sim b(0{,}85,8):
\begin{aligned} \mathrm{f}(0)&=0{,}0000002562890625,\\[4pt] \mathrm{f}(1)&=8\cdot0{,}85\cdot0{,}15^{7}=0{,}0000116184375,\\[4pt] \mathrm{f}(2)&=28\cdot0{,}85^{2}\cdot0{,}15^{6}=0{,}00023043234375,\\[4pt] \mathrm{f}(3)&=56\cdot0{,}85^{3}\cdot0{,}15^{5}=0{,}002611671125,\\[4pt] \mathrm{f}(4)&=70\cdot0{,}85^{4}\cdot0{,}15^{4}=0{,}018498596484375,\\[4pt] \mathrm{f}(5)&=56\cdot0{,}85^{5}\cdot0{,}15^{3}=0{,}0838602765,\\[4pt] \mathrm{f}(6)&=28\cdot0{,}85^{6}\cdot0{,}15^{2}=0{,}23760419484375,\\[4pt] \mathrm{f}(7)&=8\cdot0{,}85^{7}\cdot0{,}15=0{,}3846925059375,\\[4pt] \mathrm{f}(8)&=0{,}85^{8}=0{,}2724905250390625. \end{aligned}]

Passo 9

Função de distribuição cumulativa \mathrm{F}(x)=P(X\le x) para X\sim b(0{,}85,8) (somando em ordem crescente):
\begin{aligned} \mathrm{F}(0)&=0{,}0000002562890625,\\[4pt] \mathrm{F}(1)&=0{,}0000118747265625,\\[4pt] \mathrm{F}(2)&=0{,}0002423070703125,\\[4pt] \mathrm{F}(3)&=0{,}0028539781953125,\\[4pt] \mathrm{F}(4)&=0{,}0213525746796875,\\[4pt] \mathrm{F}(5)&=0{,}1052128511796875,\\[4pt] \mathrm{F}(6)&=0{,}3428170460234375,\\[4pt] \mathrm{F}(7)&=0{,}7275095519609375,\\[4pt] \mathrm{F}(8)&=1{,}0000000000000000. \end{aligned}]

Passo 10

Parâmetros para X\sim b(0{,}85,8):
\mu = n p = 8\cdot0{,}85 = 6{,}8,
\sigma^{2}= n p(1-p) = 8\cdot0{,}85\cdot0{,}15 = 1{,}02,
\sigma = \sqrt{1{,}02}\approx 1{,}00995049\\ (\text{aprox. }1{,}01).

Resposta

Para X\sim b(0{,}2,8):
\mathrm{f}(x)=\displaystyle \binom{8}{x}(0{,}2)^{x}(0{,}8)^{8-x},\; x=0,\dots,8, com valores:
\mathrm{f}(0)=0{,}16777216,\; \mathrm{f}(1)=0{,}33554432,\; \mathrm{f}(2)=0{,}29360128,\; \mathrm{f}(3)=0{,}14680064,
\mathrm{f}(4)=0{,}04587520,\; \mathrm{f}(5)=0{,}00917504,\; \mathrm{f}(6)=0{,}00114688,\; \mathrm{f}(7)=0{,}00008192,\; \mathrm{f}(8)=0{,}00000256.
\mathrm{F}(x)=P(X\le x) com valores:
\mathrm{F}(0)=0{,}16777216,\; \mathrm{F}(1)=0{,}50331648,\; \mathrm{F}(2)=0{,}79691776,\; \mathrm{F}(3)=0{,}94371840,
\mathrm{F}(4)=0{,}98959360,\; \mathrm{F}(5)=0{,}99876864,\; \mathrm{F}(6)=0{,}99991552,\; \mathrm{F}(7)=0{,}99999744,\; \mathrm{F}(8)=1{,}00000000.
\mu=1{,}6,\; \sigma^{2}=1{,}28,\; \sigma=\sqrt{1{,}28}\approx1{,}13137085.
Para X\sim b(0{,}85,8):
\mathrm{f}(x)=\displaystyle \binom{8}{x}(0{,}85)^{x}(0{,}15)^{8-x},\; x=0,\dots,8, com valores:
\mathrm{f}(0)=0{,}0000002562890625,\; \mathrm{f}(1)=0{,}0000116184375,\; \mathrm{f}(2)=0{,}00023043234375,
\mathrm{f}(3)=0{,}002611671125,\; \mathrm{f}(4)=0{,}018498596484375,\; \mathrm{f}(5)=0{,}0838602765,
\mathrm{f}(6)=0{,}23760419484375,\; \mathrm{f}(7)=0{,}3846925059375,\; \mathrm{f}(8)=0{,}2724905250390625.
\mathrm{F}(x)=P(X\le x) com valores:
\mathrm{F}(0)=0{,}0000002562890625,\; \mathrm{F}(1)=0{,}0000118747265625,\; \mathrm{F}(2)=0{,}0002423070703125,
\mathrm{F}(3)=0{,}0028539781953125,\; \mathrm{F}(4)=0{,}0213525746796875,\; \mathrm{F}(5)=0{,}1052128511796875,
\mathrm{F}(6)=0{,}3428170460234375,\; \mathrm{F}(7)=0{,}7275095519609375,\; \mathrm{F}(8)=1{,}0000000000000000.
\mu=6{,}8,\; \sigma^{2}=1{,}02,\; \sigma=\sqrt{1{,}02}\approx1{,}00995049.

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