Determinar a integral curvilínea do campo vetorial vecF, ao longo da curva C dada.
Calcule integralC P d x+Q d y+R d z, onde
F=(P, Q, R)=(x^2, x-y, 0) e C dada por alpha(t)=(t, sen t, 0), 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral curvilínea do campo vetorial
F(x,y,z)=(P,Q,R)=(x^2,,x-y,,0)
ao longo da curva C parametrizada por
alpha(t)=(t,sin t,0), 0<= t<=pi
O conteúdo envolvido é a definição de integral de linha de um campo vetorial, que diz
integralCP,dx+Q,dy+R,dz =integrala^bl(P(x(t),y(t),z(t)),x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t)),y'(t)+R(x(t),y(t),z(t)),z'(t)r),dt

Passo 2

Identificamos a parametrização
x(t)=t, y(t)=sin t, z(t)=0,
com derivadas
x'(t)=1, y'(t)=cos t, z'(t)=0

Passo 3

Substituindo em P,Q,R e na fórmula, obtemos
Pl(x(t),y(t)r)=t^2, Ql(x(t),y(t)r)=t-sin t, R=0,
logo o integrando é
t^2cdot1+(t-sin t)cdotcos t+0 =t^2+tcos t-sin tcos t,
e portanto
integralCP,dx+Q,dy+R,dz =integral0^pil(t^2+tcos t-sin tcos tr),dt

Passo 4

Vamos dividir em três integrais:
I1=integral0^pit^2,dt, I2=integral0^pitcos t,dt, I3=-integral0^pisin tcos t,dt
  1. I1=l[t^3/3r]0^pi=pi^3/3
  2. Para I2 use integração por partes:
    u=t,;dv=cos t,dt
    I2=l[tsin t+cos tr]0^pi=-1-1=-2
  3. Em I3 note que
    integralsin tcos t,dt=tfrac12sin^2t,
    então de 0 a pi isso vale zero, logo I3=0.

Passo 5

Somando os resultados:
I1+I2+I3=pi^33-2+0 =pi^33-2

Resposta

pi^33-2

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