Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=tan 2 n pi1+8 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = tan!l(tfrac2npi1+8nr)
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar
limntoinftyan. Vamos usar propriedades de limites e a continuidade da função tan em pontos onde ela é definida.

Passo 2

Definimos o ângulo interno
thetan = 2npi1+8n
Reescrevendo em função de n, fatoramos n no denominador:
thetan = 2npi1+8n = 2pitfrac1n + 8 = 2pi8 + tfrac1n

Passo 3

Agora calculamos o limite de thetan quando ntoinfty:
limntoinftythetan = limntoinfty2pi8 + tfrac1n = 2pi8 + 0 = pi4

Passo 4

Como tan(x) é contínua em x=pi/4 (e não há descontinuidade ali), podemos trocar limite e função:
limntoinftyan = limntoinftytan(thetan) = tan!l(limntoinftythetanr) = tan!l(tfracpi4r) = 1

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 1

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