Determinar a integral curvilínea do campo vetorial vecF, ao longo da curva C dada.
Calcular integralC x y d x+e^y d y, onde C é o arco da curva y+2=|x+2|, com ponto inicial (0,0) e ponto final (-4,0). Esboce C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,y,dx + e^y,dy
onde C é o arco da curva definida por
y + 2 = lvert x + 2rvert
com ponto inicial (0,0) e ponto final (-4,0).
O conteúdo envolve integrais de linha em campos vetoriais não conservativos e parametrização por partes.

Passo 2

Esboçamos C. A equação
y+2 = lvert x+2rvert
é um “V” com vértice em (-2,-2).
  • Para x>= -2 temos
y=(x+2)-2 = x,
segmento de reta ligando (0,0) a (-2,-2).
  • Para x<= -2 temos
y=-(x+2)-2 = -x-4,
segmento de reta ligando (-2,-2) a (-4,0).
Logo C é a união C1cup C2 dessas duas retas.

Passo 3

Parametrizamos C1 por
x(t)=t, y(t)=t, tin [0,-2]
Então dx=dt, dy=dt e
integralC1 x,y,dx + e^y,dy =integral0^-2l(t^2 + e^tr),dt =l[tfract^33+e^tr]0^-2 =-tfrac83+(e^-2-1) =-tfrac113+e^-2

Passo 4

Parametrizamos C2 por
x(t)=t, y(t)=-t-4, tin [-2,-4]
Então dx=dt, dy=-dt e
integralC2 x,y,dx + e^y,dy =integral-2^-4l(t(-t-4),dt + e^-t-4(-dt)r) =integral-2^-4l(-t^2-4t - e^-t-4r),dt
Uma primitiva é -tfract^33-2t^2+e^-t-4, avaliando:
l[-tfract^33-2t^2+e^-t-4r]-2^-4 =l(-tfrac643-32+1r)-l(-tfrac83-8+e^-2r) =-tfrac293-l(-tfrac163+e^-2r) =-tfrac133-e^-2

Passo 5

Somando as duas partes:
integralC x,y,dx + e^y,dy =l(-tfrac113+e^-2r) +l(-tfrac133-e^-2r) =-tfrac243 =-8

Resposta

-8

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