Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da
derivada):
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos máximos e mínimos usando o teste da primeira derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está subindo ou descendo.
Derivada de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, então sempre existe. Igualando a derivada a zero:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Assim, temos duas soluções:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Vamos dividir a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e verificar o sinal de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Com base nos sinais da derivada:
-
Intervalo
: -
→ A função está crescente.
-
-
Intervalo
: -
→ A função está decrescente.
-
-
Intervalo
: -
→ A função está crescente.
-
Passo 7
Agora, vamos identificar os pontos máximos e mínimos usando o teste da primeira derivada:
-
Em
: - A derivada muda de positiva para negativa → Ponto máximo.
-
Em
: - A derivada muda de negativa para positiva → Ponto mínimo.
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
. Além disso, possui um ponto máximo em
e um ponto mínimo em
.