Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 1^a derivada):
b) f(x)=4 x^3-8 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos máximos e mínimos usando o teste da primeira derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função f'(x) = ddx(4x^3 - 8x^2) = 12x^2 - 16x . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está subindo ou descendo.
Derivada de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de 12x^2 - 16x = 0 onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, então sempre existe. Igualando a derivada a zero:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de 12x^2 - 16x = 0 4x(3x - 4) = 0 :
4x = 0 Rightarrow x = 0 3x - 4 = 0 Rightarrow x = 43
Assim, temos duas soluções:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Vamos dividir a reta real em três intervalos:
  1. f'(-1) = 12(-1)^2 - 16(-1) = 12 + 16 = 28 > 0
  2. f'(1) = 12(1)^2 - 16(1) = 12 - 16 = -4 < 0
  3. f'(2) = 12(2)^2 - 16(2) = 48 - 32 = 16 > 0
Vamos escolher um valor de em cada intervalo e verificar o sinal de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Com base nos sinais da derivada:
  1. Intervalo :
    • → A função está crescente.
  2. Intervalo :
    • → A função está decrescente.
  3. Intervalo :
    • → A função está crescente.

Passo 7

Agora, vamos identificar os pontos máximos e mínimos usando o teste da primeira derivada:
  • Em :
    • A derivada muda de positiva para negativa → Ponto máximo.
  • Em :
    • A derivada muda de negativa para positiva → Ponto mínimo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo . Além disso, possui um ponto máximo em e um ponto mínimo em .

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