Resolva o sistema
para
e
em termos de
e
. Depois encontre o valor do jacobiano
.
Passo 1
Temos o sistema de equações lineares
[\u = x - y, \quad v = 2x + y].
O conteúdo aqui é transformação linear bidimensional e jacobiano. Para resolver, vamos usar álgebra (substituição) e a definição de jacobiano como determinante da matriz de derivadas parciais.
Passo 2
A partir de
, isolamos
. Substituindo em
obtemos
[v = 2(u + y) + y = 2u + 3y],
logo
[y = \frac{v - 2u}{3}].
Passo 3
Para encontrar
, usamos
, logo
[x = u + \frac{v - 2u}{3} = \frac{3u + v - 2u}{3} = \frac{u + v}{3}].
Assim, as funções inversas são
e
.
Passo 4
O jacobiano é dado por
[J = \det
].
Calculando as derivadas:
[\frac{\partial x}{\partial u} = \frac13, \quad
\frac{\partial x}{\partial v} = \frac13, \quad
\frac{\partial y}{\partial u} = -\frac23, \quad
\frac{\partial y}{\partial v} = \frac13].
\frac{\partial x}{\partial v} = \frac13, \quad
\frac{\partial y}{\partial u} = -\frac23, \quad
\frac{\partial y}{\partial v} = \frac13].
Logo
[J = \frac13 \cdot \frac13 - \frac13 \cdot (-\frac23) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac13].
Resposta
As expressões inversas são
e
, e o jacobiano é
.