Resolva o sistema
u=x-y, v=2 x+y
para x e y em termos de u e v. Depois encontre o valor do jacobiano partial(x, y) / partial(u, v).

Passo 1

Temos o sistema de equações lineares
[\u = x - y, \quad v = 2x + y].
O conteúdo aqui é transformação linear bidimensional e jacobiano. Para resolver, vamos usar álgebra (substituição) e a definição de jacobiano como determinante da matriz de derivadas parciais.

Passo 2

A partir de u = x - y, isolamos x = u + y. Substituindo em v = 2x + y obtemos
[v = 2(u + y) + y = 2u + 3y],
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[y = \frac{v - 2u}{3}].

Passo 3

Para encontrar x, usamos x = u + y, logo
[x = u + \frac{v - 2u}{3} = \frac{3u + v - 2u}{3} = \frac{u + v}{3}].
Assim, as funções inversas são x(u,v) = u+v3 e y(u,v) = v - 2u3.

Passo 4

O jacobiano é dado por
[J = \det
partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v ].
Calculando as derivadas:
[\frac{\partial x}{\partial u} = \frac13, \quad
\frac{\partial x}{\partial v} = \frac13, \quad
\frac{\partial y}{\partial u} = -\frac23, \quad
\frac{\partial y}{\partial v} = \frac13].
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[J = \frac13 \cdot \frac13 - \frac13 \cdot (-\frac23) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac13].

Resposta

As expressões inversas são x = u+v3 e y = v-2u3, e o jacobiano é tfrac13.

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