Use que F^(n)(s)=L(-t)^n f(t) para encontrar a transformada de Laplace. f(t)=t^n e^a t;

Passo 1

O exercício pede para calcular Lt^n e^a t usando a propriedade de derivada em relação a s: F^(n)(s)=L(-t)^n f(t). Vamos precisar da transformada básica de e^at e da relação entre multiplicação por t^n no domínio do tempo e derivadas no domínio de s.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de e^a t é
Le^a t(s)=1s - a,
e chamamos essa função de F(s)=1/(s-a).

Passo 3

Pela propriedade dada, temos
Lt^n e^a t = (-1)^nd^nds^n F(s) = (-1)^nd^nds^n(1s - a)

Passo 4

Agora calculamos a derivada de ordem n de (s-a)^-1. Sabemos que, em geral,
d^nds^n(s - a)^-1 = (-1)^n n!,(s - a)^-n-1

Passo 5

Substituindo no passo anterior, obtemos
Lt^n e^a t = (-1)^n l[(-1)^n n!,(s - a)^-n-1r] = n!,(s - a)^-n-1

Resposta

Lt^n e^a t(s) = n!(s - a)^n+1, Re(s) > a

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