Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{1}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-6 x+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o teste da primeira derivada, os intervalos de crescimento e decrescimento de
f(x)=4x^{3}+3x^{2}-6x+1,
além de identificar os pontos de máximo e mínimo locais. Vamos precisar calcular f'(x), achar seus zeros (pontos críticos) e estudar o sinal de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}+3x^{2}-6x+1\bigr) =12x^{2}+6x-6.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
12x^{2}+6x-6=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+x-1=0.
As raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4} =\frac{-1\pm3}{4},
ou seja
x_{1}=-1 \quad\text{e}\quad x_{2}=\tfrac12.

Passo 4

Para o teste da primeira derivada, escolhemos um ponto em cada intervalo determinado por -\infty,-1,\tfrac12,\infty e avaliamos o sinal de f'(x):
  • Em x=-2 (intervalo (-\infty,-1)): f'(-2)=12\cdot4+6\cdot(-2)-6=48-12-6=30>0.
  • Em x=0 (intervalo (-1,\tfrac12)): f'(0)=-6<0.
  • Em x=1 (intervalo (\tfrac12,\infty)): f'(1)=12+6-6=12>0.
Logo, f'(x)>0 em (-\infty,-1) e em (\tfrac12,\infty), e f'(x)<0 em (-1,\tfrac12).

Passo 5

Pelo teste da primeira derivada:
  • f é crescente em (-\infty,-1) e em (\tfrac12,\infty).
  • f é decrescente em (-1,\tfrac12).
Como f' troca de positivo para negativo em x=-1, há um máximo local em x=-1.
Como f' troca de negativo para positivo em x=\tfrac12, há um mínimo local em x=\tfrac12.

Passo 6

Calculamos os valores da função nesses pontos:
f(-1)=4(-1)^{3}+3(-1)^{2}-6(-1)+1=-4+3+6+1=6,
f\bigl(\tfrac12\bigr) =4\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}+3\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-6\bigl(\tfrac12\bigr)+1 =\tfrac12+\tfrac34-3+1=-\tfrac34.

Resposta

Crescimento: (-\infty,-1) e (\tfrac12,\infty)
Decrescimento: (-1,\tfrac12)
Máximo local em \bigl(-1,6\bigr)
Mínimo local em \bigl(\tfrac12,-\tfrac34\bigr)

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