Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{2}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x

Passo 1

O enunciado pede para f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x determinar os intervalos em que a função cresce ou decresce e identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando o teste da segunda derivada. Para isso precisamos:
  1. Calcular a primeira derivada f'(x) e achar os pontos críticos.
  2. Calcular a segunda derivada f''(x) e aplicar o teste da segunda derivada nesses pontos.
  3. Analisar o sinal de f'(x) para obter os intervalos de monotonicidade.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{3}+3x^{2}-36x)=6x^{2}+6x-36
Fatorando:
f'(x)=6\bigl(x^{2}+x-6\bigr)=6(x+3)(x-2).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja, x=-3 e x=2.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}+6x-36\bigr)=12x+6.
No ponto x=-3:
f''(-3)=12\cdot(-3)+6=-30<0,
logo há um máximo local em x=-3. O valor é
f(-3)=2(-3)^{3}+3(-3)^{2}-36(-3)=-54+27+108=81.
No ponto x=2:
f''(2)=12\cdot2+6=30>0,
logo há um mínimo local em x=2. O valor é
f(2)=2\cdot8+3\cdot4-36\cdot2=16+12-72=-44.

Passo 4

Para os intervalos de monotonicidade, analisamos o sinal de f'(x)=6(x+3)(x-2). As raízes dividem a reta em três intervalos:
  • Para x<-3, escolhemos x=-4: (x+3)(x-2)=(-1)(-6)>0, logo f'(x)>0 e f cresce.
  • Para -3<x<2, escolhemos x=0: (3)(-2)<0, logo f'(x)<0 e f decresce.
  • Para x>2, escolhemos x=3: (6)(1)>0, logo f'(x)>0 e f cresce.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,-3)\cup(2,\infty)
Intervalo de decrescimento: (-3,2)
Máximo local em x=-3 com f(-3)=81
Mínimo local em x=2 com f(2)=-44

Exercícios relacionados