Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da
derivada):
Passo 1
O enunciado pede para
determinar os intervalos em que a função cresce ou decresce e identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando o teste da segunda derivada. Para isso precisamos:
- Calcular a primeira derivada
e achar os pontos críticos. - Calcular a segunda derivada
e aplicar o teste da segunda derivada nesses pontos. - Analisar o sinal de
para obter os intervalos de monotonicidade.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada:
Fatorando:
Os pontos críticos vêm de
, ou seja,
e
.
Passo 3
Agora a segunda derivada:
No ponto
:
logo há um máximo local em
. O valor é
No ponto
:
logo há um mínimo local em
. O valor é
Passo 4
Para os intervalos de monotonicidade, analisamos o sinal de
. As raízes dividem a reta em três intervalos:
- Para
, escolhemos : , logo e cresce. - Para
, escolhemos : , logo e decresce. - Para
, escolhemos : , logo e cresce.
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Intervalo de decrescimento:
Máximo local em
com
Mínimo local em
com