Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=2+2 x^{2}-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão de
f(x)=2+2x^{2}-x^{4}
e identificar os intervalos em que a concavidade de f é voltada para cima ou para baixo. Para isso vamos precisar calcular a segunda derivada e estudar seu sinal.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada primeira e a segunda derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2+2x^{2}-x^{4}\bigr)=4x-4x^{3},
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x-4x^{3}\bigr)=4-12x^{2}.

Passo 3

Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 ou f'' não existe. Aqui,
f''(x)=4-12x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 12x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Para confirmar que são pontos de inflexão calculamos f nesses x:
f\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =2+2\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} =2+\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{9} =2+\tfrac{6}{9}-\tfrac{1}{9} =2+\tfrac{5}{9} =\tfrac{23}{9}.
Logo os pontos de inflexão são
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{23}{9}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{23}{9}\bigr).

Passo 5

Para saber onde a concavidade é voltada para cima ou para baixo estudamos o sinal de
f''(x)=4-12x^{2}=4\bigl(1-3x^{2}\bigr).
Se 1-3x^{2}>0, ou seja |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}}, então f''(x)>0 e f é côncava para cima. Se |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}}, então f''(x)<0 e f é côncava para baixo.

Resposta

Pontos de inflexão: \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{23}{9}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{23}{9}\bigr)
Concavidade voltada para cima em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)
Concavidade voltada para baixo em \bigl(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty\bigr)

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