Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=x^{4}-2 x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão e os intervalos onde a função
f(x)=x^{4}-2x^{2}+3
é côncava para cima ou para baixo. O conteúdo envolvido é o teste de concavidade usando a segunda derivada: basta calcular f''(x), achar onde ela zera e estudar seu sinal.

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivada de f. Usando a regra da potência e a linearidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-2\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =4x^{3}-4x
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-4x\bigr) =12x^{2}-4

Passo 3

Para achar os pontos onde a concavidade pode mudar, resolvemos
f''(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 12x^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}

Passo 4

Estudamos o sinal de f''(x)=12x^{2}-4 nos intervalos determinados por -\infty, -\tfrac{1}{\sqrt3}, \tfrac{1}{\sqrt3} e +\infty:
  • Se |x|>\tfrac{1}{\sqrt3} então x^{2}>\tfrac{1}{3} e 12x^{2}-4>0, logo f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Se |x|<\tfrac{1}{\sqrt3} então x^{2}<\tfrac{1}{3} e 12x^{2}-4<0, logo f''(x)<0 (côncava para baixo).

Passo 5

Como f''(x) muda de sinal ao atravessar x=\pm\tfrac{1}{\sqrt3}, esses são de fato pontos de inflexão. Para encontrá-los no plano, calculamos
f\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr) =\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr)^{4} -2\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr)^{2} +3 =\frac{1}{9}-\frac{2}{3}+3 =\frac{1-6+27}{9} =\frac{22}{9}.

Resposta

Os pontos de inflexão são
\Bigl(\,-\tfrac{1}{\sqrt3},\,\tfrac{22}{9}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(\,\tfrac{1}{\sqrt3},\,\tfrac{22}{9}\Bigr).
A função é côncava para cima em
\bigl(-\infty,\,-\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{1}{\sqrt3},+\infty\bigr)
e côncava para baixo em
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},\,\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr).

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