Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão e os intervalos onde a função
é côncava para cima ou para baixo. O conteúdo envolvido é o teste de concavidade usando a segunda derivada: basta calcular
, achar onde ela zera e estudar seu sinal.
Passo 2
Calculamos a primeira e a segunda derivada de
. Usando a regra da potência e a linearidade:
Passo 3
Para achar os pontos onde a concavidade pode mudar, resolvemos
Passo 4
Estudamos o sinal de
nos intervalos determinados por
,
,
e
:
- Se
então e , logo (côncava para cima). - Se
então e , logo (côncava para baixo).
Passo 5
Como
muda de sinal ao atravessar
, esses são de fato pontos de inflexão. Para encontrá-los no plano, calculamos
Resposta
Os pontos de inflexão são
A função é côncava para cima em
e côncava para baixo em