Determinar M in M3(R), inversível, tal que M^-1 A M seja diagonal onde
A=(ccc 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5 )
Determinar M^-1 A M.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma matriz inversível Min M3(R) que diagonalize A, ou seja, tal que
M^-1AM
seja uma matriz diagonal. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores: primeiro a gente calcula o polinômio característico de A para achar seus autovalores, depois obtém autovetores independentes e monta M com eles como colunas.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico det(A-lambda I). Temos
A-lambda I = 2-lambda & 0 & 4 3 & -4-lambda & 12 1 & -2 & 5-lambda
Calculando o determinante por cofactor na primeira linha dá
det(A-lambda I) =(2-lambda)l[(-4-lambda)(5-lambda)-12cdot(-2)r] +4l[3cdot(-2)-1cdot(-4-lambda)r]
Expandindo e simplificando chega-se a
det(A-lambda I)=-lambda(lambda-1)(lambda-2)
Logo os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2,
todos distintos, o que garante que A é diagonalizável.

Passo 3

Para
Da primeira equação , e a terceira é automaticamente satisfeita. Tomando para ficar inteiro, um autovetor é

Passo 4

Para
Dai . Escolhendo
Para resolvemos , que leva a
logo , . Tomando

Passo 5

Como os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes, montamos
M=l[v1;v2;v3r] = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0
Por construção
M^-1AM=diag(0,1,2)

Resposta

M = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 , M^-1AM = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2

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