Seja a transformação linear dada por .
(1 Ponto) a) Determine uma base e a dimensão da imagem de e determine a dimensão do núcleo de .
(1,5 ponto) b) Determine os valores de e e a matriz da transformação linear em relação às bases canônicas ordenadas e .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Precisamos (a) encontrar uma base e a dimensão da imagem de e a dimensão do núcleo de ; (b) calcular e e montar a matriz de nas bases canônicas e .
Passo 2
Para gerar a imagem de aplicamos aos vetores da base canônica de :
Logo
Passo 3
Os vetores e são linearmente independentes em , pois nenhum é múltiplo do outro. Logo
Pela fórmula de dimensão (teorema da nulidade–posto) em temos
Ou, resolvendo que dá e , confirma-se que .
Passo 4
Relembrando, do passo já temos
Passo 5
A matriz de nas bases canônicas e é dada pelas colunas formadas por e . Assim
Resposta
(a) Uma base de Im(F) é (1,0,1),(0,1,-1), dim(Im(F))=2 e dim(ker(F))=0.
(b) F(1,0)=(1,0,1), F(0,1)=(0,1,-1) e