Seja F: R^2 R^3 a transformação linear dada por F(x, y)=(x, y, x-y).
(1 Ponto) a) Determine uma base e a dimensão da imagem de F e determine a dimensão do núcleo de F.
(1,5 ponto) b) Determine os valores de F(1,0) e F(0,1) e a matriz da transformação linear F em relação às bases canônicas ordenadas B=((1,0),(0,1)) e B^prime=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), FB B^prime.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Fcolon R^2toR^3, F(x,y)=(x,y,x-y)
Precisamos (a) encontrar uma base e a dimensão da imagem de F e a dimensão do núcleo de F; (b) calcular F(1,0) e F(0,1) e montar a matriz de F nas bases canônicas B=((1,0),(0,1)) e B'=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)).

Passo 2

Para gerar a imagem de F aplicamos F aos vetores da base canônica de R^2:
F(1,0)=(1,0,1), F(0,1)=(0,1,-1)
Logo
Im(F)=span(1,0,1),(0,1,-1)

Passo 3

Os vetores (1,0,1) e (0,1,-1) são linearmente independentes em R^3, pois nenhum é múltiplo do outro. Logo
diml(Im(F)r)=2
Pela fórmula de dimensão (teorema da nulidade–posto) em R^2 temos
diml(ker(F)r)=2-diml(Im(F)r)=2-2=0
Ou, resolvendo F(x,y)=(0,0,0) que dá x=0 e y=0, confirma-se que ker(F)=(0,0).

Passo 4

Relembrando, do passo 2 já temos
F(1,0)=(1,0,1), F(0,1)=(0,1,-1)

Passo 5

A matriz de F nas bases canônicas B e B' é dada pelas colunas formadas por F(1,0) e F(0,1). Assim
FBB' = 1 & 0 0 & 1 1 & -1

Resposta

(a) Uma base de Im(F) é (1,0,1),(0,1,-1), dim(Im(F))=2 e dim(ker(F))=0.
(b) F(1,0)=(1,0,1), F(0,1)=(0,1,-1) e
FBB' = 1 & 0 0 & 1 1 & -1

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