Determinar, se possível, uma matriz M in M2(R) de maneira que M^-1 A M seja diagonal, no seguinte caso:
(cc3 & -2 2 & 1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, uma matriz de mudança de base M in M2(R) que transforme
A = 3 & -2[0.3em] 2 & 1
numa matriz diagonal, ou seja, que satisfaça
M^-1AM = D
com D diagonal. O conteúdo necessário é diagonalização de matrizes reais via autovalores e autovetores, o que exige, em primeiro lugar, calcular o polinômio característico e verificar se ele tem raízes reais.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!3-lambda & -2[0.3em]2 & 1-lambda = (3-lambda)(1-lambda) - (-2)cdot 2 = lambda^2 -4lambda +7 ]

Passo 3

Analisamos as raízes de lambda^2 -4lambda +7=0. O discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot7 = 16 -28 = -12 < 0
Como De<a<0, não há autovalores reais de A.

Passo 4

Sem autovalores reais, não existe base de R^2 formada por autovetores reais. Logo, não é possível diagonalizar A usando matrizes reais.

Resposta

Não existe Min M2(R) tal que M^-1AM seja diagonal.

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