Determinar uma matriz M in M2(C) de maneira que M^-1 A M seja diagonal, no seguinte caso:
(cc0 & i -i & 0).

Passo 1

O problema pede uma matriz Min M2(C) invertível tal que
M^-1 A M
seja diagonal, onde
A = 0 & i -i & 0
Para isso vamos usar o método de diagonalização via autovalores e autovetores: primeiro achamos o polinômio característico de A e seus autovalores, depois determinamos autovetores correspondentes e finalmente montamos M com esses autovetores como colunas.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det-lambda & i[6pt]-i & -lambda = lambda^2 - (i cdot (-i)) = lambda^2 - 1
Assim os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = -1 ]

Passo 3

Para resolvemos
Da primeira equação segue . Escolhendo , um autovetor é
Para resolvemos
Da primeira equação segue . Escolhendo , um autovetor é
]

Passo 4

Montamos M cujas colunas são v1 e v2:
M = 1 & 1 [4pt]-i & i
O determinante é det M = (1)(i)-(1)(-i)=2ineq0, logo M é invertível. Por construção tem-se
M^-1 A M = 1 & 0[4pt]0 & -1,
que é diagonal.]

Resposta

M = 1 & 1 [4pt]-i & i, M^-1 A M = 1 & 0 [4pt]0 & -1 ]

Exercícios relacionados