Determinar a lei da transformação linear T: R^3 R^4 tal que
T(1,2,3)=(1,0,0,1), T(0,1,2)=(1,1,1,0) e T(0,0,1)=(0,0,0,0)

Passo 1

O enunciado pede a lei de uma transformação linear
Tcolon R^3toR^4
que satisfaz
T(1,2,3) = (1,0,0,1), T(0,1,2) = (1,1,1,0), T(0,0,1) = (0,0,0,0)
O conteúdo é expansão em base e linearidade de transformações lineares.

Passo 2

Note que os vetores
v1=(1,2,3), v2=(0,1,2), v3=(0,0,1)
estão em forma escalonada com pivôs não nulos, logo são linearmente independentes e formam base de R^3.

Passo 3

Para qualquer (x,y,z)inR^3 existe única tripla (a,b,c) tal que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (x,y,z)
Escrevendo coordenada a coordenada temos
a = x,
2a + b = y b = y - 2x,
3a + 2b + c = z c = z -3x -2(y-2x) = z + x - 2y.

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y,z) = a,T(v1) + b,T(v2) + c,T(v3) = x,(1,0,0,1) + (y-2x),(1,1,1,0) + (z+x-2y),(0,0,0,0)
O último termo some porque T(v3)=(0,0,0,0).

Passo 5

Somando coordenadas:
primeira: x + (y-2x) = y - x,
segunda e terceira: 0 + (y-2x) = y - 2x,
quarta: x + 0 = x.
Logo
T(x,y,z) = l(y - x,;y - 2x,;y - 2x,;xr)

Resposta

T(x,y,z) = l(y - x,;y - 2x,;y - 2x,;xr)

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