Dados os planos pi1: 2 x-y+z-1=0 e pi2: 3 x+y-z+4=0, determine o plano que contém r=pi1 cap pi2 e é ortogonal ao vetor N=(2,-1,1)

Passo 1

O enunciado dá os planos
pi1colon 2x - y + z - 1 = 0
e
pi2colon 3x + y - z + 4 = 0
e pede o plano que contém a reta r = pi1cap pi2 e é ortogonal ao vetor ,(2,-1,1).
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos achar um ponto em r e usar a fórmula do plano com normal dado.

Passo 2

Como o plano procurado é ortogonal ao vetor
N = (2,-1,1),
seu vetor normal é
n = N = (2,-1,1)

Passo 3

Para obter um ponto P em r, resolvemos as equações
2x - y + z = 1
3x + y - z = -4
Somando-as, vem
5x = -3 Longrightarrow x = -35
Tomando y=0, a primeira equação dá
-,65 + z = 1 Longrightarrow z = 1 + 65 = 115
Logo um ponto em r é
Pl(-tfrac35,,0,,tfrac115r)

Passo 4

A equação geral do plano com normal (2,-1,1) passando por P(x0,y0,z0) é
2(x - x0);-;(y - y0);+;(z - z0);=;0
Substituindo x0=-tfrac35, y0=0, z0=tfrac115, obtemos
2l(x + tfrac35r);-;y;+;l(z - tfrac115r);=;0

Passo 5

Desenvolvendo a expressão:
2x + 65 ;-; y ;+; z ;-; 115 = 0 Longrightarrow 2x - y + z - 1 = 0
Reconhecemos que é exatamente o plano pi1.

Resposta

2x - y + z - 1 = 0

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