Considere o espaço vetorial
e os seus subespaços
Determinar:
a) Uma base de
, uma base de
e as dimensões destes.
b) Equações lineares homogêneas que caracterizam
.
c)
com suas equações lineares, uma base e sua dimensão.
d) Verificar se
é igual ao
.
a) Uma base de
b) Equações lineares homogêneas que caracterizam
c)
d) Verificar se
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial
com os subespaços
Pede-se:
a) bases e dimensões de e
;
b) equações lineares homogêneas que definem ;
c) descrição de por equações, base e dimensão;
d) verificar se .
a) bases e dimensões de
b) equações lineares homogêneas que definem
c) descrição de
d) verificar se
Conteúdo: subespaços de
, base, dimensão, descrição por equações lineares e soma direta.
Passo 2
Determinar base e dimensão de
e de
.
Para
, a condição
impõe uma equação linear, logo grau de liberdade 3. Podemos tomar como variáveis livres
. Assim vetores de
escrevem-se
Uma base de
é
portanto
.
Para
, note que
logo só há dois vetores independentes. Tomemos
Assim
é base de
e
.
Passo 3
Obter equações lineares homogêneas que definem
.
Um vetor satisfaz
Um vetor
Daí as condições
Portanto
é o conjunto dos
que satisfazem
e
Passo 4
Determinar
.
Em vale
. Em
vale
e
. Substituindo
em
dá
. Logo
Em
As equações lineares que descrevem
são
Temos
e base
.
Passo 5
Verificar
.
Pela fórmula de Grassmann,
Pela fórmula de Grassmann,
Como
, conclui-se
.
Resposta
a) Uma base de
é
com
.
Uma base de é
com
.
b) As equações homogêneas que caracterizam são
Uma base de
b) As equações homogêneas que caracterizam
c)
é dado por
uma base é
e
.
d) .
d)