Considere o espaço vetorial V=R^4 e os seus subespaços
U=(x, y, z, w) in V ; z=x-y e W=[(1,1,0,2),(1,1,1,2),(1,1,2,2)]
Determinar:
a) Uma base de U, uma base de W e as dimensões destes.
b) Equações lineares homogêneas que caracterizam W.
c) U cap W com suas equações lineares, uma base e sua dimensão.
d) Verificar se U+W é igual ao R^4.

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial V=R^4 com os subespaços
U = (x,y,z,w)in V mid z = x - y,
W = span(1,1,0,2),,(1,1,1,2),,(1,1,2,2)
Pede-se:
a) bases e dimensões de U e W;
b) equações lineares homogêneas que definem W;
c) descrição de Ucap W por equações, base e dimensão;
d) verificar se U+W=R^4.
Conteúdo: subespaços de R^n, base, dimensão, descrição por equações lineares e soma direta.

Passo 2

Determinar base e dimensão de U e de W.
Para U, a condição z=x-y impõe uma equação linear, logo grau de liberdade 3. Podemos tomar como variáveis livres x,y,w. Assim vetores de U escrevem-se
(x,y,z,w)=(x,y,x-y,w)=x,(1,0,1,0)+y,(0,1,-1,0)+w,(0,0,0,1)
Uma base de U é
(1,0,1,0),;(0,1,-1,0),;(0,0,0,1),
portanto dim U=3.
Para W, note que
(1,1,1,2)-(1,1,0,2)=(0,0,1,0), (1,1,2,2)-(1,1,1,2)=(0,0,1,0),
logo só há dois vetores independentes. Tomemos
u1=(1,1,0,2), u2=(0,0,1,0)
Assim
u1,u2 é base de W e dim W=2.

Passo 3

Obter equações lineares homogêneas que definem W.
Um vetor (x,y,z,w)in W satisfaz
(x,y,z,w)=alpha,(1,1,0,2)+beta,(0,0,1,0) =(alpha,alpha,beta,2alpha)
Daí as condições
x-y=0, w-2x=0
Portanto W é o conjunto dos (x,y,z,w) que satisfazem
x-y=0
e
w-2x=0

Passo 4

Determinar Ucap W.
Em U vale z=x-y. Em W vale x=y e w=2x. Substituindo y=x em z=x-y z=0. Logo
Ucap W=(x,x,0,2x)mid xinR=span(1,1,0,2)
As equações lineares que descrevem Ucap W são
x-y=0, z=0, w-2x=0
Temos dim(Ucap W)=1 e base (1,1,0,2).

Passo 5

Verificar U+W.
Pela fórmula de Grassmann,
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=3+2-1=4
Como dimR^4=4, conclui-se U+W=R^4.

Resposta

a) Uma base de U é (1,0,1,0),,(0,1,-1,0),,(0,0,0,1) com dim U=3.
Uma base de W é (1,1,0,2),,(0,0,1,0) com dim W=2.
b) As equações homogêneas que caracterizam W são
x-y=0, w-2x=0
c) Ucap W é dado por
x-y=0, z=0, w-2x=0,
uma base é (1,1,0,2) e dim(Ucap W)=1.
d) U+W=R^4.

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